误差函数计算器

这个计算器是做什么的？

输入一个值y并选择一个函数，此工具会在erf(x) = y（逆误差函数，erf⁻¹）或erfc(x) = y（逆互补误差函数，erfc⁻¹）中求解x。这是更熟悉的误差函数的反向过程：与其代入x得到erf(x)/erfc(x)，不如提供输出并求解输入。

如何使用

1. 选择您是在求解erf(x) = y还是erfc(x) = y。
2. 输入y — 对于erf⁻¹为-1到1之间，对于erfc⁻¹为0到2之间（这些是erf/erfc实际产生的仅有的值）。
3. 从结果表中读取x，同时查看往返检查行，该行将x代入回前向函数，以确认它落回y。

数学

erf(x)和erfc(x)没有闭形式逆函数，因此两者都通过误差函数与标准正态分布分位函数Φ⁻¹（"probit"函数）之间的精确关系计算：

Φ(z) = ½ · (1 + erf(z / √2))

当erf(x) = y时求解x得到：

erf⁻¹(y) = Φ⁻¹((y + 1) / 2) / √2

由于erfc(x) = 1 − erf(x)：

erfc⁻¹(y) = erf⁻¹(1 − y)

Φ⁻¹本身使用彼得·阿克拉姆的有理近似进行计算，在整个(0, 1)区间内相对误差小于1.15×10⁻⁹ — 包括极端尾部，其中低精度方法会损失数字。

与前向函数的关系

如果您需要直接得到erf(x)/erfc(x) — 代入x以获得函数值，而非求解x — 请参阅互补误差函数计算器，它涵盖该前向方向。

使用示例

• 概率和统计 — 找到与给定尾部概率对应的z值（或erf等价物），例如从置信水平反向工作以获得临界值。
• 扩散和热传递 — 在半无限扩散/传导问题中求解深度或时间，当浓度或温度比率（通过erfc表示）已已知时。
• 信号处理 — 在误差率本身是已知量时，恢复Q函数或比特错误率公式的论证。

隐私

所有计算都在您的浏览器中本地运行 — 您的输入从不发送到服务器。

相关工具

对于前向方向 — 直接从x计算erf(x)和erfc(x) — 请参阅互补误差函数计算器。对于一般描述性统计，请参阅统计计算器。