Kalkulator Ekspansi Teorema Binomial

Kalkulator Ekspansi Teorema Binomial mengembangkan (a + b)ⁿ untuk setiap eksponen bilangan bulat hingga 50, menampilkan setiap suku ekspansi bersama koefisien binomialnya, koefisien numerik yang dihitung, dan bentuk aljabarnya. Masukkan suku a, suku b, dan eksponen n untuk mendapatkan ekspansi lengkap, tabel rincian suku demi suku, dan dua jumlah yang berlangsung.

Alat ini dibangun untuk siswa aljabar dan kombinatorika yang memverifikasi ekspansi binomial dengan tangan, guru yang menyiapkan contoh soal, dan siapa pun yang membutuhkan ekspansi eksak dengan eksponen yang terlalu besar untuk diexpansi dengan perkalian berulang.

Cara menggunakannya

1. Masukkan suku a — koefisien bilangan bulat ditambah variabel satu huruf opsional, cth. 2x, -y, atau 3.
2. Masukkan suku b dengan format yang sama.
3. Atur eksponen (n) dengan penggeser, dari 0 hingga 50.
4. Baca Ekspresi dan Ekspansi Lengkap, pindai tabel Suku-suku untuk koefisien binomial dan nilai setiap suku, dan periksa dua jumlah koefisien.

Hasil diperbarui secara otomatis saat Anda mengetik. Misalnya, a = 2x, b = 3, n = 4 mengembang menjadi 16x^4 + 96x^3 + 216x^2 + 216x + 81.

Teorema binomial

Untuk bilangan bulat n, (a + b)ⁿ berkembang sebagai:

(a + b)^n = Σ (k = 0 to n) C(n,k) · a^(n−k) · b^k

Setiap C(n,k) — dibaca "n pilih k" — adalah koefisien binomial dari baris n segitiga Pascal: C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!). Kalkulator membangun segitiga Pascal hingga baris n, kemudian mengalikan setiap koefisien dengan a^(n−k) · b^k untuk mendapatkan koefisien numerik akhir setiap suku.

Mengapa aritmatika eksak penting pada n = 50

Koefisien seperti 9 yang dipangkatkan 50 memiliki 48 digit — jauh melampaui apa yang dapat direpresentasikan oleh bilangan floating-point biasa (mereka kehilangan presisi setelah sekitar 15–17 digit signifikan). Setiap langkah di sini — segitiga Pascal, koefisien setiap suku, dan kedua jumlah yang berlangsung — dihitung dengan aritmatika bilangan bulat presisi sembarang, sehingga hasilnya tetap eksak tidak peduli seberapa besar koefisien atau eksponennya.

Dua jumlah koefisien

• Jumlah Koefisien Binomial adalah C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n), yang selalu sama dengan 2ⁿ — tidak tergantung apa yang sebenarnya a dan b.
• Jumlah Semua Koefisien adalah jumlah koefisien numerik yang dihitung dari setiap suku (koefisien binomial kali pangkat koefisien a dan b sendiri). Mengatur variabel menjadi 1 menunjukkan alasannya: itu selalu sama dengan (a + b)ⁿ yang dievaluasi hanya dengan koefisien numerik — untuk 2x + 3 itu adalah (2 + 3)^4 = 625, sesuai dengan 16 + 96 + 216 + 216 + 81.

Menggabungkan variabel yang serupa

Jika kedua suku menggunakan huruf variabel yang sama (cth. x dan x), kalkulator menggabungkan eksponen mereka menjadi satu pangkat daripada menunjukkan keduanya berdampingan — jadi (x + x)^2 dibaca sebagai 4x^2, bukan 4x^1x^1. Huruf variabel yang berbeda (cth. x dan y) tetap terpisah, menghasilkan suku campuran seperti x^3y.

Privasi

Kalkulator ini berjalan sepenuhnya di peramban Anda. Suku dan eksponen Anda tidak pernah diunggah, dicatat, atau disimpan — perhitungan terjadi secara lokal di perangkat Anda.

Alat terkait

Untuk persamaan dua suku terkait yang diselesaikan dengan rute aljabar berbeda, lihat Kalkulator Melengkapi Kuadrat.