Kalkulator Fungsi Kesalahan Komplementer

Apa yang dilakukan kalkulator ini?

Masukkan bilangan real x dan alat ini menghitung dua nilai yang saling terkait erat: erf(x), fungsi kesalahan, dan erfc(x), fungsi kesalahan komplementer, di mana erfc(x) = 1 − erf(x). Keduanya dihitung menggunakan aproksimasi rasional Abramowitz & Stegun yang akurat hingga sekitar 7-8 digit signifikan.

Cara menggunakannya

1. Masukkan nilai untuk x (antara -6 dan 6 — di luar rentang tersebut, erfc(x) tidak dapat dibedakan secara numerik dari 0 atau 2 pada presisi ganda, sehingga hasil tidak lagi bermakna).
2. Baca erf(x) dan erfc(x) dari tabel hasil.

Matematika

Fungsi kesalahan didefinisikan oleh integral:

erf(x) = (2/√π) · ∫₀ˣ e^(−t²) dt

Fungsi ini tidak memiliki bentuk tertutup dalam hal fungsi dasar, jadi dievaluasi dengan aproksimasi numerik — di sini, aproksimasi rasional Abramowitz & Stegun 7.1.26, dengan kesalahan maksimum sekitar 1,5×10⁻⁷ di seluruh garis bilangan real. Fungsi kesalahan komplementer hanyalah:

erfc(x) = 1 − erf(x)

Kedua fungsi adalah ganjil/simetris di sekitar erf: erf(−x) = −erf(x) dan erfc(−x) = 2 − erfc(x). Pada x = 0, erf(0) = 0 dan erfc(0) = 1. Seiring x bertumbuh, erf(x) mendekati 1 (dan erfc(x) mendekati 0) dengan sangat cepat — pada x = 3, erfc(x) sudah di bawah 0,0001.

Hubungan dengan distribusi normal

erf dan erfc secara langsung berhubungan dengan fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari distribusi normal standar, Φ(z):

Φ(z) = ½ · erfc(−z / √2) = ½ · (1 + erf(z / √2))

Jadi jika Anda sudah memiliki nilai dari kalkulator ini, Anda dapat memulihkan probabilitas normal-standar darinya tanpa tabel z terpisah — berguna saat bekerja melalui masalah statistika yang dinyatakan dalam hal erf daripada Φ.

Contoh kasus penggunaan

• Probabilitas dan statistika — menghitung probabilitas ekor dari variabel yang terdistribusi normal, bekerja melalui masalah dari buku teks yang menyatakan hasil dalam hal erf/erfc daripada Φ.
• Perpindahan panas dan difusi — erfc(x) muncul langsung dalam solusi klasik untuk konduksi panas transien ke benda semi-tak berhingga, dan dalam solusi hukum kedua Fick untuk difusi ke medium semi-tak berhingga (mis. karburasi, profil doping).
• Pemrosesan sinyal — formula tingkat kesalahan bit untuk saluran komunikasi digital (mis. BPSK di atas saluran AWGN) biasanya dinyatakan menggunakan Q(x), yang mana sendiri ½ · erfc(x/√2).

Privasi

Semua perhitungan berjalan secara lokal di browser Anda — input Anda tidak pernah dikirim ke server.

Alat terkait

Untuk statistika deskriptif umum — rata-rata, simpangan baku, varian — lihat Kalkulator Statistika. Untuk pengujian hipotesis yang dibangun di atas matematika CDF normal yang sama, lihat Kalkulator Signifikansi Uji A/B.