Kalkulator Fungsi Gamma

Apa yang dilakukan kalkulator ini?

Masukkan bilangan real x dan alat ini akan menghitung Γ(x), fungsi gamma, bersama dengan logaritma alaminya ln|Γ(x)|. Fungsi gamma memperluas faktorial ke bilangan real non-integer dan negatif: untuk bilangan bulat positif n, Γ(n) = (n-1)!. Dievaluasi menggunakan aproksimasi Lanczos yang akurat hingga sekitar 14-15 digit signifikan.

Cara menggunakannya

1. Masukkan nilai untuk x, antara -50 dan 170 — di luar rentang itu, nilai sebenarnya baik meluap mendekati nol atau melampaui apa yang dapat direpresentasikan oleh angka floating-point 64-bit.
2. Baca Γ(x) dan ln|Γ(x)| dari tabel hasil. Kolom log berguna ketika Γ(x) sendiri menjadi sangat besar (pada x = 100, Γ(x) sudah melebihi 10¹⁵⁵) — logaritmanya tetap menjadi angka berukuran normal yang sebenarnya dapat Anda bandingkan.

Matematikanya

Untuk x real positif, fungsi gamma didefinisikan oleh integral tak wajar:

Γ(x) = ∫₀^∞ t^(x-1) · e^(-t) dt

yang memenuhi rekurensi Γ(x+1) = x · Γ(x), hubungan yang sama yang diikuti faktorial — jadi Γ(1) = 1, Γ(2) = 1, Γ(3) = 2, Γ(4) = 6, dan secara umum Γ(n) = (n-1)! untuk bilangan bulat positif.

Untuk non-integer, Γ(0.5) = √π ≈ 1.7725, dan nilai half-integer mengikuti formula Γ(n + 1/2) yang dibangun dari itu. Untuk non-integer negatif, formula refleksi Euler memperluas fungsi:

Γ(x) · Γ(1-x) = π / sin(πx)

begitulah cara kalkulator ini menangani x < 0.5 — ia menghitung Γ(1-x) dengan aproksimasi Lanczos yang sama dan menyelesaikan untuk Γ(x). Fungsi tidak terdefinisi di nol dan setiap bilangan bulat negatif (kutub, di mana sin(πx) = 0 membuat penyebut menghilang) — kalkulator menolak input tersebut dengan kesalahan daripada menampilkan hasil yang salah.

Contoh kasus penggunaan

• Kombinatorik dan probabilitas — fungsi gamma mendasari distribusi gamma, distribusi beta, dan distribusi t-Student, yang semuanya memerlukan Γ dievaluasi pada argumen non-integer (seperti derajat kebebasan half-integer).
• Rumus kombinatorial dengan argumen non-integer — koefisien binomial umum dan aproksimasi tipe Stirling memperluas secara alami melalui Γ(x) daripada dibatasi hanya pada faktorial bilangan bulat.
• Fisika dan rekayasa — Γ(x) muncul dalam konstanta normalisasi untuk statistik Maxwell-Boltzmann dan Bose-Einstein, dan dalam solusi untuk persamaan diferensial tertentu.
• Memeriksa nilai faktorial dengan cepat — karena Γ(n) = (n-1)!, memasukkan x = 11 memberikan Anda 10! = 3628800 tanpa memerlukan kalkulator faktorial terpisah.

Privasi

Semua perhitungan berjalan secara lokal di browser Anda — masukan Anda tidak pernah dikirim ke server.

Alat terkait

Untuk fungsi kesalahan pelengkap yang terkait erat, lihat Kalkulator Fungsi Kesalahan Pelengkap. Untuk statistik deskriptif umum, lihat Kalkulator Statistik.