Kalkulator Penjumlahan Deret Tak Terbatas
Hitung jumlah bentuk tertutup dari delapan deret tak terbatas klasik — geometrik, p-series, teleskoping, harmonic berganti, Leibniz, Basel, eksponensial (e^x), dan p-series berganti — beserta alasan konvergensi yang tepat, rumus, dan tabel penjumlahan parsial yang menunjukkan seberapa cepat (atau lambat) deret mendekati jumlah tersebut.
Input
Output
| n | aₙ | Sₙ (penjumlahan parsial) |
|---|---|---|
| No data yet | ||
Cara lain menggunakan alat ini
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/infinite-series-sum-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"series": "geometric",
"a": "1",
"r": "0.5",
"n0": "1",
"numTerms": "5"
}'Ganti dengan kunci Anda sendiri dari akun Anda. Bidang alat menjadi isi permintaan — tanpa pembungkus.
Tanyakan ke agen AI
Use the IOTools `infinite-series-sum-calculator` tool (Infinite Series Sum Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HERETempelkan ini ke agen mana pun yang terhubung ke server MCP IOTools, lalu tambahkan input Anda.
Widget sematan
<iframe
src="https://iotools.cloud/embed/infinite-series-sum-calculator/"
width="100%" height="520" frameborder="0" scrolling="no" loading="lazy"
title="Kalkulator Penjumlahan Deret Tak Terbatas — iotools.cloud"
sandbox="allow-scripts allow-forms allow-same-origin allow-downloads allow-popups allow-popups-to-escape-sandbox"
allow="clipboard-write"
style="width:100%;border:1px solid #e5e7eb;border-radius:12px;overflow:hidden"></iframe>
<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>Tempelkan ini di halaman Anda sendiri — gratis, tanpa kunci, cukup tautan balik.
| Biaya per panggilan API/MCP | Mulai dari 5 kredit |
|---|---|
| Butuh kredit lebih? | Lihat harga |
Juga tersedia melalui
Panduan
Kalkulator Penjumlahan Deret Tak Terbatas menemukan jumlah bentuk tertutup yang tepat dari delapan deret tak terbatas klasik — geometrik, p-series, teleskoping, harmonic berganti, Leibniz, Basel, eksponensial (eˣ), dan p-series berganti — beserta alasan konvergensi, rumus yang digunakan, dan tabel penjumlahan parsial yang menunjukkan seberapa cepat (atau lambat) deret benar-benar mendekati jumlah tersebut.
Cara menggunakannya
- Pilih keluarga deret dari dropdown.
- Isi parameter keluarga tersebut — suku pertama dan rasio untuk deret geometrik, eksponen untuk p-series, selisih untuk deret teleskoping, dan sebagainya. Beberapa keluarga (harmonic berganti, Leibniz, Basel) tidak memiliki parameter sama sekali.
- Pilih berapa banyak penjumlahan parsial yang akan ditampilkan.
- Baca jumlah eksak dan rumus, atau derivasi langkah-demi-langkah lengkap untuk alasan di balik keputusan konvergensi.
Mengapa p-series umum dan p-series berganti bukan jumlah parsial naif
Untuk sebagian besar eksponen p, Σ 1/nᵖ dan Σ (-1)ⁿ⁻¹/nᵖ tidak memiliki bentuk tertutup elementer — "bentuk tertutup" sebenarnya adalah fungsi Riemann zeta ζ(p) dan fungsi Dirichlet eta η(p). Kalkulator yang hanya menambahkan ribuan suku mentah konvergen sangat lambat untuk p dekat dengan 1 (deret harmonic berganti membutuhkan miliaran suku untuk presisi satu digit) dan secara langsung salah untuk p-series yang berbeda. Alat ini malah:
- Mengevaluasi ζ(p) dengan rumus penjumlahan Euler-Maclaurin — teknik yang sama digunakan oleh mpmath dan PARI/GP — akurat hingga kurang lebih 14 angka penting untuk setiap p > 1, dengan nilai yang diketahui secara pasti (π²/6, π⁴/90, π⁶/945, π⁸/9450, π¹⁰/93555) ditampilkan langsung untuk eksponen bilangan bulat genap.
- Mengevaluasi η(p) dengan menerapkan transformasi Euler ke deret berganti, yang mempercepat konvergensi dari ribuan suku mentah menjadi sekitar 30 — akurat hingga kurang lebih 10 angka penting untuk setiap p > 0.
Delapan deret
- Geometrik — Σ a·rⁿ. Konvergen jika dan hanya jika |r| < 1, berjumlah ke a·rⁿ⁰/(1 − r).
- p-series — Σ 1/nᵖ. Konvergen jika dan hanya jika p > 1, berjumlah ke ζ(p) (fungsi Riemann zeta).
- Teleskoping — Σ 1/(n(n + k)). Selalu konvergen, karena 1/(n(n+k)) = (1/k)[1/n − 1/(n+k)] membatalkan setiap suku interior.
- Harmonic berganti — Σ (-1)ⁿ⁻¹/n. Berjumlah ke ln 2.
- Leibniz — Σ (-1)ⁿ/(2n + 1). Berjumlah ke π/4 — salah satu deret yang paling lambat konvergen dalam penggunaan umum (arctan(1)).
- Masalah Basel — Σ 1/n². Berjumlah ke π²/6, hasil terkenal Euler tahun 1734.
- Eksponensial — Σ xⁿ/n!. Konvergen untuk setiap x real, berjumlah ke eˣ.
- p-series berganti — Σ (-1)ⁿ⁻¹/nᵖ. Konvergen (secara kondisional, untuk 0 < p ≤ 1) jika dan hanya jika p > 0, berjumlah ke η(p) (fungsi Dirichlet eta; η(1) = ln 2 tepat).
Untuk arah sebaliknya — perluas fungsi menjadi deret pangkat daripada menjumlahkan satu — lihat Kalkulator Deret Taylor, atau periksa apakah deret yang sudah Anda miliki konvergen dengan Kalkulator Tes Konvergensi Deret.
Privasi
Kalkulator ini berjalan sepenuhnya di browser Anda. Keluarga deret pilihan Anda dan parameter tidak pernah diunggah, dicatat, atau disimpan.