Kalkulator Matriks Jacobian

Kalkulator Matriks Jacobian membangun matriks Jacobian — matriks lengkap turunan parsial orde pertama — untuk fungsi bernilai vektor F = (f₁, f₂, …) terhadap variabel (x₁, x₂, …). Ini menampilkan Jacobian simbolik, determinan simbolik saat matriks bujur sangkar, penilaian invertibilitas, evaluasi numerik di titik mana pun yang Anda pilih, dan derivasi lengkap langkah demi langkah dari setiap entri.

Ini dibangun untuk siswa kalkulus multivariabel dan aljabar linier yang memeriksa jawaban pekerjaan rumah, dan untuk siapa pun yang membutuhkan Jacobian tanpa membedakan seluruh grid turunan parsial dengan tangan.

Cara menggunakannya

1. Masukkan fungsi Anda f₁, f₂, … — satu per baris, atau dipisahkan dengan titik koma — menggunakan notasi matematika standar: ^ untuk pangkat, * untuk perkalian, plus sqrt(), sin(), cos(), log(), dan fungsi lainnya yang didukung oleh pengurai ekspresi mathjs. Hingga 4 fungsi.
2. Daftar variabel yang akan dibedakan, dipisahkan dengan koma, huruf tunggal (misalnya x, y, z). Hingga 4 variabel.
3. Secara opsional masukkan titik untuk mengevaluasi Jacobian secara numerik — satu nilai per variabel, dipisahkan dengan koma. Biarkan kosong untuk melihat Jacobian simbolik saja.
4. Baca Matriks Jacobian J untuk matriks turunan parsial (baris i, kolom j adalah ∂fᵢ/∂xⱼ), Bentuk untuk dimensinya, dan Determinan |J| untuk determinan simbolik saat matriks bujur sangkar.
5. Dievaluasi di Titik menampilkan Jacobian numerik, nilai determinan, dan apakah matriks dapat dibalik di sana. Derivasi Langkah demi Langkah menampilkan setiap turunan parsial yang dihitung sepanjang jalan.

Hasil diperbarui secara otomatis saat Anda mengetik. Misalnya, F = (x^2*y, x + z) dengan variabel x, y, z menghasilkan Jacobian 2×3 [[2xy, x², 0], [1, 0, 1]] — tidak bujur sangkar, jadi tidak ada determinan — sementara F = (xy, x + y) dengan variabel x, y menghasilkan Jacobian bujur sangkar [[y, x], [1, 1]], determinan y − x, dapat dibalik di mana saja kecuali di sepanjang garis y = x.

Apa itu matriks Jacobian?

Untuk fungsi bernilai vektor F(x₁, …, xₙ) = (f₁, …, fₘ), Jacobian adalah matriks m×n:

J[i][j] = ∂fᵢ/∂xⱼ

Setiap baris adalah gradien dari satu fungsi; setiap kolom adalah bagaimana setiap fungsi merespons satu variabel. Ini adalah generalisasi multivariabel dari turunan tunggal, dan inilah yang terlihat seperti pendekatan orde pertama (linier) dari F di dekat titik.

Mengapa invertibilitas penting?

Ketika Jacobian bujur sangkar (sebanyak fungsi sebanyak variabel) dan determinannya bukan nol di satu titik, teorema fungsi invers menjamin F dapat dibalik secara lokal di sana — perubahan kecil dalam keluaran dapat dilacak kembali ke perubahan kecil unik dalam masukan. Kalkulator ini memeriksa kondisi itu secara otomatis: jika determinannya identik 0, matriks itu singular di mana-mana (F tidak pernah dapat dibalik secara lokal); jika tidak, dapat dibalik di titik mana pun di mana determinannya tidak hilang.

Fungsi apa yang bisa saya masukkan?

Apa pun yang dipahami oleh pengevaluasi ekspresi mathjs: polinomial (x^2*y - 2*z), fungsi trigonometri (sin(x*z), cos(y)), akar dan logaritma (sqrt(x), log(y)), dan kombinasi dari ini. Sudut dalam fungsi trigonometri dalam radian secara default — tulis pi untuk π. Simbol yang Anda daftarkan sebagai fungsi tetapi bukan sebagai variabel (atau sebaliknya) diperlakukan sebagai konstanta selama diferensiasi.

Untuk membedakan satu fungsi terhadap satu variabel pada satu waktu, lihat Kalkulator Turunan Parsial; untuk operasi matriks numerik 2×2/3×3 (determinan, invers, perkalian), lihat Kalkulator Matriks.

Privasi

Kalkulator ini berjalan sepenuhnya di browser Anda. Fungsi, variabel, dan titik Anda tidak pernah diunggah, dicatat, atau disimpan — perhitungan terjadi secara lokal di perangkat Anda.