Kalkulator Dekomposisi Fraksi Parsial
Uraikan ekspresi rasional P(x)/Q(x) menjadi jumlah fraksi parsial yang lebih sederhana — pecahan murni atau tidak murni, dengan faktor linear berulang dan faktor kuadrat irreducible — menggunakan aritmetika rasional eksak dan derivasi langkah demi langkah yang lengkap.
Input
Polinomial dalam x, mis. 3x + 5 atau x^2 - 4. Dapat berderajat sama atau lebih tinggi dari penyebut (fraksi tidak murni) — kami akan membagi terlebih dahulu.
Q(x) sebagai produk dari faktor linear dan/atau kuadrat, masing-masing dalam tanda kurung dengan pangkat opsional — mis. (x - 1)(x + 2)^2 atau (x - 1)(x^2 + 1). Kami tidak auto-faktor polinomial sembarang (tidak dapat diselesaikan dengan eksak secara umum) — masukkan bentuk terfaktor dan setiap langkah dihitung dengan eksak.
Output
| Faktor penyebut | Pembilang | Suku |
|---|---|---|
| No data yet | ||
Cara lain menggunakan alat ini
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/partial-fraction-decomposition-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"numerator": "3x + 5",
"denominator": "(x - 1)(x + 2)"
}'Ganti dengan kunci Anda sendiri dari akun Anda. Bidang alat menjadi isi permintaan — tanpa pembungkus.
Tanyakan ke agen AI
Use the IOTools `partial-fraction-decomposition-calculator` tool (Partial Fraction Decomposition Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HERETempelkan ini ke agen mana pun yang terhubung ke server MCP IOTools, lalu tambahkan input Anda.
Widget sematan
<iframe
src="https://iotools.cloud/embed/partial-fraction-decomposition-calculator/"
width="100%" height="520" frameborder="0" scrolling="no" loading="lazy"
title="Kalkulator Dekomposisi Fraksi Parsial — iotools.cloud"
sandbox="allow-scripts allow-forms allow-same-origin allow-downloads allow-popups allow-popups-to-escape-sandbox"
allow="clipboard-write"
style="width:100%;border:1px solid #e5e7eb;border-radius:12px;overflow:hidden"></iframe>
<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>Tempelkan ini di halaman Anda sendiri — gratis, tanpa kunci, cukup tautan balik.
| Biaya per panggilan API/MCP | Mulai dari 5 kredit |
|---|
Juga tersedia melalui
Panduan
Dekomposisi fraksi parsial memecah ekspresi rasional P(x)/Q(x) menjadi fraksi-fraksi sederhana yang akan bergabung untuk menghasilkannya — kebalikan dari penjumlahan fraksi dengan penyebut yang sama. Ini adalah langkah pertama standar sebelum mengintegrasikan fungsi rasional, dan aritmetika menjadi membosankan dengan cepat begitu penyebut memiliki faktor berulang atau kuadrat. Kalkulator ini menjalankan metode lengkap dengan eksak — setiap koefisien adalah fraksi eksak, tidak pernah desimal bulat — dan menunjukkan sistem linear yang diselesaikan untuk mendapatkannya.
Cara menggunakannya
- Masukkan pembilang P(x) sebagai polinomial dalam x, mis.
3x + 5ataux^2 - 4. - Masukkan penyebut Q(x) dalam bentuk terfaktor — produk dari faktor linear dan/atau kuadrat, masing-masing dalam tanda kurung dengan pangkat opsional
^, mis.(x - 1)(x + 2)^2atau(x - 1)(x^2 + 1). - Baca dekomposisi, bagian polinomial (jika pecahan tidak murni), tabel suku demi suku, dan derivasi lengkapnya.
Mengapa penyebut harus sudah terfaktor
Memfaktorkan polinomial sembarang dengan eksak tidak memiliki bentuk tertutup umum melampaui derajat 4, dan bahkan memutuskan apakah satu faktor rapi di atas rasional adalah masalah kerasnya sendiri — kalkulator yang diam-diam menebak faktorisasi "cukup dekat" akan mengembalikan jawaban salah dengan kepercayaan diri total, yang lebih buruk daripada menanyakan satu pertanyaan lagi. Memasok Q(x) yang sudah terfaktor menjaga setiap langkah eksak: tidak ada pencarian akar, tidak ada floating point, pernah. Jika faktor kuadrat yang Anda masukkan ternyata benar-benar dapat direduksi di atas rasional (diskriminannya adalah kuadrat sempurna), kalkulator menulis ulang sebagai dua faktor linear secara otomatis sebelum dekomposisi.
Metodenya
- Pecahan tidak murni? Jika deg(P) ≥ deg(Q), bagi terlebih dahulu (pembagian polinomial panjang biasa) untuk mendapatkan bagian polinomial ditambah sisa yang tepat, kemudian dekomposisi sisanya.
- Bangun ansatz. Setiap faktor linear
(x − r)dengan pangkatnberkontribusiA₁/(x−r) + A₂/(x−r)² + … + Aₙ/(x−r)ⁿ; setiap faktor kuadrat irreducible dengan pangkatnberkontribusi(B₁x + C₁)/(quad) + … + (Bₙx + Cₙ)/(quad)ⁿ. - Samakan koefisien. Kalikan kedua sisi dengan Q(x) dan bandingkan koefisien setiap pangkat x — ini menghasilkan sistem persegi persamaan linear dalam pembilang yang tidak diketahui, diselesaikan dengan eliminasi Gauss-Jordan eksak atas fraksi bilangan rasional (BigInt).
- Untuk kasus paling sederhana — setiap faktor penyebut linear dan berbeda, tidak ada pengulangan — derivasi juga menunjukkan jalan pintas tutup-up (Heaviside) sebagai pemeriksaan silang independen: tutup setiap
(x − r)dan evaluasi semuanya dix = r.
FAQ
Mengapa faktor kuadrat memerlukan (Ax + B) di atas bukannya hanya A?
Satu konstanta di atas kuadrat irreducible tidak dapat mereproduksi setiap pembilang yang mungkin dari derajat itu — pembilang harus diizinkan memiliki istilah x sendiri, atau sistem persamaan tidak memiliki solusi untuk P(x) generik.
Bagaimana jika faktor penyebut saya tidak cocok derajat 1 atau 2?
Bagi lebih jauh. Setiap polinomial nyata faktor ke dalam bagian linear dan kuadrat irreducible, jadi faktor kubik atau tingkat lebih tinggi yang Anda miliki tidak dalam bentuk terfaktor akhirnya — faktor sisanya dengan cara (dengan tangan, atau dengan Pemecah Persamaan Kubik) sebelum memasukkannya di sini.
Faktor saya tidak monik (mis. (2x - 4)) — apakah itu penting?
Tidak — masukkan dengan persis seperti yang Anda miliki. Kalkulator mengeluarkan koefisien terkemuka secara internal dan melipatgandakannya ke dalam pembilang, jadi (2x - 4) dan (x - 2) dekomposisi ke istilah fraksi yang sama mendasar.
Alat terkait
Untuk memperluas polinomial terfaktor kembali ke bentuk standar — arah kebalikan dari langkah kedua alat ini — lihat Kalkulator Perluas Polinomial. Untuk membagi pembilang tidak murni dengan penyebut dengan tangan alih-alih secara otomatis, lihat Kalkulator Pembagian Polinomial Panjang.
Privasi
Semua perhitungan berjalan sepenuhnya di browser Anda — pembilang dan penyebut yang Anda masukkan tidak pernah dikirim ke server.