Kalkulator Akar Polinomial
Temukan setiap akar nyata dan kompleks dari polinomial berderajat 1 hingga 12. Masukkan koefisien dari suku derajat tertinggi ke bawah, dan dapatkan rumus eksak untuk derajat ≤ 2 atau iterasi Durand–Kerner untuk derajat lebih tinggi.
Input
Koefisien yang dipisahkan dengan koma atau spasi, dari suku derajat tertinggi hingga suku konstan (derajat 1 hingga 12). Desimal didukung.
Output
| Akar | Bagian nyata | Bagian imajiner |
|---|---|---|
| No data yet | ||
Cara lain menggunakan alat ini
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/polynomial-roots-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"coefficients": "1, -5"
}'Ganti dengan kunci Anda sendiri dari akun Anda. Bidang alat menjadi isi permintaan — tanpa pembungkus.
Tanyakan ke agen AI
Use the IOTools `polynomial-roots-calculator` tool (Polynomial Roots Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HERETempelkan ini ke agen mana pun yang terhubung ke server MCP IOTools, lalu tambahkan input Anda.
Widget sematan
<iframe
src="https://iotools.cloud/embed/polynomial-roots-calculator/"
width="100%" height="520" frameborder="0" scrolling="no" loading="lazy"
title="Kalkulator Akar Polinomial — iotools.cloud"
sandbox="allow-scripts allow-forms allow-same-origin allow-downloads allow-popups allow-popups-to-escape-sandbox"
allow="clipboard-write"
style="width:100%;border:1px solid #e5e7eb;border-radius:12px;overflow:hidden"></iframe>
<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>Tempelkan ini di halaman Anda sendiri — gratis, tanpa kunci, cukup tautan balik.
| Biaya per panggilan API/MCP | Mulai dari 5 kredit |
|---|
Juga tersedia melalui
Panduan
Menemukan setiap akar polinomial dengan tangan hanya berfungsi dengan baik hingga derajat 2 — di luar itu tidak ada rumus aljabar umum, dan mencari akar nyata atau kompleks melalui substitusi coba-coba menjadi tidak andal dengan cepat. Kalkulator ini menyelesaikan semuanya sekaligus: nyata, irasional, dan kompleks, untuk polinomial apa pun dari derajat 1 hingga 12.
Cara menggunakannya
- Masukkan koefisien polinomial, derajat tertinggi terlebih dahulu — untuk x³ − 6x² + 11x − 6, masukkan
1, -6, 11, -6(suku yang hilang adalah nol, dan itu penting: jangan lewati). - Baca persamaan yang diuraikan (untuk mengonfirmasi cocok dengan yang Anda maksudkan), tabel akar lengkap, dan metode mana yang menyelesaikannya.
Desimal didukung — koefisien tidak perlu berupa bilangan bulat.
Metodenya
- Derajat 1: diselesaikan langsung, x = −b⁄a.
- Derajat 2: rumus kuadrat, x = (−b ± √(b² − 4ac)) ⁄ 2a — diskriminan positif memberikan dua akar nyata, nol memberikan akar nyata berulang, dan diskriminan negatif memberikan pasangan konjugat kompleks.
- Derajat 3–12: iterasi Durand–Kerner, metode numerik yang menyempurnakan semua n akar secara bersamaan setiap kali — r ← r − f(r) ⁄ Π(r − rⱼ) melalui setiap tebakan akar arus lainnya — dimulai dari titik-titik yang tersebar di sekitar lingkaran yang diubah ukurannya untuk membatasi setiap akar (batas Cauchy). Ini menyatu ke kumpulan lengkap akar nyata dan kompleks bersama-sama, itulah sebabnya ini adalah pendekatan standar ketika tidak ada rumus bentuk tertutup.
Residu floating-point kecil (jauh di bawah digit apa pun yang ditampilkan) dijepit ke tepat 0, jadi akar yang benar-benar nyata tidak menampilkan bagian imajiner tersesat seperti 1e-14i.
FAQ
Mengapa kubik kadang-kadang menunjukkan satu akar nyata dan pasangan kompleks, dan di waktu lain tiga akar nyata?
Itu ditentukan oleh polinomial itu sendiri, bukan metodenya — kubik nyata selalu memiliki setidaknya satu akar nyata, dan baik dua akar nyata lagi atau pasangan konjugat kompleks. Kalkulator menemukan apa pun yang benar-benar dihasilkan koefisien.
Seberapa presisi akar-akarnya?
Durand–Kerner berulang sampai akar berhenti bergerak lebih dari 1e-13, kemudian hasilnya ditampilkan hingga 6 angka penting — cukup akurat untuk penggunaan praktis apa pun, meskipun ini adalah pendekatan numerik daripada bentuk tertutup yang tepat untuk derajat 3 ke atas.
Polinomial terbesar apa yang dapat ditangani ini?
Derajat 12 (13 koefisien). Di luar itu, pencarian akar menjadi tidak stabil secara numerik untuk kalkulator tujuan umum — koefisien polinomial berderajat tinggi dapat sangat sensitif terhadap posisi eksak akarnya.
Alat terkait
Untuk pencarian akar rasional saja pada polinomial dengan koefisien bilangan bulat — dengan pecahan eksak dan bentuk terfaktor yang dijabarkan — lihat Kalkulator Pemfaktoran Polinomial. Untuk kuadrat khusus, dengan derivasi langkah demi langkah lengkap, lihat Kalkulator Rumus Kuadrat. Untuk membagi polinomial dengan akar yang diketahui dan memeriksa sisanya, lihat Kalkulator Divisi Sintetis.
Privasi
Semua perhitungan berjalan sepenuhnya di browser Anda — koefisien yang Anda masukkan tidak pernah dikirim ke server.