相補誤差関数計算機

この計算機は何をしますか？

実数 x を入力すると、このツールは2つの密接に関連する値を計算します：erf(x)（誤差関数）および erfc(x)（相補誤差関数）。ここで erfc(x) = 1 − erf(x) です。両者はAbramowitz & Stegun有理近似を使用して計算され、約7～8桁の有効数字まで精密です。

使い方

1. x の値を入力します（-6～6の範囲。この範囲を超えると、倍精度浮動小数点数ではerfc(x)が0または2と数値的に区別できなくなり、結果が意味を失います）。
2. 結果表から erf(x) と erfc(x) を読み取ります。

数学

誤差関数は次の積分で定義されます：

erf(x) = (2/√π) · ∫₀ˣ e^(−t²) dt

この関数は初等関数では閉じた形を持たないため、数値近似で評価されます。ここでは、Abramowitz & Stegun 7.1.26有理近似を使用し、実数全体で最大誤差約1.5×10⁻⁷を持ちます。相補誤差関数は単純に：

erfc(x) = 1 − erf(x)

両関数はerf関数を中心に奇関数/対称です：erf(−x) = −erf(x) および erfc(−x) = 2 − erfc(x)。x = 0 のとき、erf(0) = 0 および erfc(0) = 1。xが増加するにつれ、erf(x)は1に（erfc(x)は0に）非常に速く近づきます。x = 3 ではerfc(x)はすでに0.0001未満です。

正規分布との関連

erfとerfcは標準正規分布の累積分布関数（CDF）Φ(z)と直接関連しています：

Φ(z) = ½ · erfc(−z / √2) = ½ · (1 + erf(z / √2))

したがって、この計算機からの値があれば、別のz表なしで標準正規確率を復元できます。erfまたはerfcで結果が述べられている統計学の問題を解く際に有用です。

使用例

• 確率論と統計学 — 正規分布する変数の尾部確率の計算、Φではなくerf/erfcで結果が述べられている教科書の問題解法。
• 熱伝導と拡散 — erfc(x)は半無限固体への過渡熱伝導の古典的解法に直接現れます。また、半無限媒質への拡散に対するFickの第2法則解（例：浸炭、ドーピング濃度分布）に現れます。
• 信号処理 — デジタル通信チャネルのビット誤り率公式（例：AWGN上のBPSK）は通常Q(x)を使用して表現され、Q(x)自体は ½ · erfc(x/√2) です。

プライバシー

すべての計算はブラウザ内でローカルに実行されます。入力がサーバーに送信されることはありません。

関連ツール

一般的な記述統計量（平均、標準偏差、分散）については、統計計算機を参照してください。同じ正規CDF数学に基づいた仮説検定については、A/B検定有意性計算機を参照してください。