平方完成計算機

平方完成計算機は、ax² + bx + c = 0 の形式の方程式を頂点形式 a(x − h)² + k に変換し、二次公式に直接飛び込むのではなく平方完成によって x を求めます。3 つの係数 — a、b、c を入力すると、頂点形式、頂点点 (h, k)、根、および各結果がどのように到達されたかを示す完全なステップバイステップの導出を返します。

このツールは、平方完成法そのもの（単に答えだけでなく）を学んでいる代数の学生、解かれた例を準備している教師、および計算を手で行わずにポーランポーランの頂点形式が必要な人向けに構築されています。

使い方

1. 係数 a（x² を乗じている数字）を入力します。ゼロ以外である必要があります。
2. 係数 b（x を乗じている数字）を入力します。
3. 係数 c（定数項）を入力します。
4. 変換された方程式については 頂点形式 と 頂点 (h, k) を、解については 根 を、完全な導出については ステップバイステップの解法 を読みます。

入力すると結果は自動的に更新されます。例えば、a = 1、b = 6、c = 5（x² + 6x + 5 = 0 の場合）を入力すると、頂点形式 y = (x + 3)² - 4、頂点 (-3, -4)、根 x₁ = -1, x₂ = -5 が返されます。

平方完成とは何ですか？

平方完成は ax² + bx + c を x² と x の項から a を分解し、その後 x の係数の半分の二乗を足して引き、括弧内の式が完全平方三項式になるように書き直します：

ax² + bx + c
= a(x² + (b/a)x) + c
= a(x² + (b/a)x + (b/2a)²) − a(b/2a)² + c
= a(x + b/2a)² + (c − b²/4a)
= a(x − h)² + k,   ここで h = −b/(2a),  k = c − b²/(4a)

最後の行は 頂点形式 です — 放物線 y = ax² + bx + c の場合、点 (h, k) はその頂点です（a > 0 の場合は最小値、a < 0 の場合は最大値）。

x をどのように解きますか？

頂点形式をゼロに設定し、二乗項を分離します：

a(x − h)² + k = 0  →  (x − h)² = −k/a

• −k/a > 0 の場合、2 つの異なる実根があります：x = h ± √(−k/a)。
• −k/a = 0 の場合、1 つの重根があります：x = h。
• −k/a < 0 の場合、2 つの複素共役根があります：x = h ± i√(k/a)。

これらは、同じ a、b、c の二次公式が生成するものとまったく同じ根です — 平方完成は同じ答えへの別のルートであり、実は二次公式自体がどのように導出されるかです。判別式を直接使用して解く場合は、二次公式ソルバー を参照してください。

a がゼロになることができないのはなぜですか？

a = 0 の場合、x² 項が消え、方程式は bx + c = 0 に縮小されます — 平方完成を行う頂点がない線形方程式です。計算機は a = 0 を無効な入力としてフラグを立てるのではなく、線形方程式のロジックにサイレントに切り替わります。

複素数の根はどのようにフォーマットされていますか？

複素根は標準的な a + bi 表記法で表示されます。例えば -0.5 + 0.866025i とその共役 -0.5 - 0.866025i — 実部は頂点の h で、虚部は √(k/a) から来ています。

プライバシー

このカルキュレーターはブラウザーで完全に実行されます。係数がアップロード、ログ、または保存されることはありません — 計算はデバイスでローカルに実行されます。

関連するツール

判別式を代わりに使用して同じ方程式を解くには、二次公式ソルバー を参照してください。