3次方程式ソルバー

この計算機は何をしますか？

3次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0 の4つの係数 a、b、c、d を入力すると、このツールは Cardanoの方法 を使用してxのすべての3つの根（実数または複素数）を解き、回答と一緒にステップバイステップの導出を表示します。

使用方法

1. a（x³の係数—ゼロであってはいけません）、b（x²の係数）、c（xの係数）、d（定数項）を入力します。
2. 根 フィールドから3つの根を読み、判別式（Δ） から判別式を読み、ステップバイステップソリューション から完全な導出を読みます。

数学

方程式をaで割ると x³ + Bx² + Cx + D = 0 が得られます。x = t − B/3 に置き換えると、二次項が消去され、低減立方体 が残ります：

t³ + pt + q = 0
p = C − B²/3
q = 2B³/27 − BC/3 + D

判別式 Δ = (q/2)² + (p/3)³ の符号は根の形状を決定します：

• Δ > 0 — 1つの実根と複素共役根の対。Cardanoの根号公式から直接求められます：u = ∛(−q/2 + √Δ)、v = ∛(−q/2 − √Δ)、実根 t = u + v。
• Δ = 0 — 3つの根すべてが実数で、少なくとも2つが等しい：pとqが両方ゼロのときの 3重根 t = 0、またはそれ以外の単純根と重根。
• Δ < 0 — 3つの異なる実根。Cardanoの根号公式は、ここで実数の複素立方根を取る必要があります（歴史的には「casus irreducibilis」として知られています）。そのため、この計算機は等価な 三角関数形式 を使用し、これは完全に実数演算内に留まります。

最後に、x = t − B/3 により置き換えが取り消され、元の方程式の根が復元されます。

使用例

• 代数の宿題と学習課題 — 3次因数分解や根探索の作業を確認します。良い整数に分解しない場合も含まれます。
• 工学と物理学 — 3次方程式は梁の偏り、流体力学（van der Waals状態方程式）、制御システムの特性方程式に現れます。
• 既知の因数分解の確認 — 手動で因数分解した3次方程式の展開された係数を入力し、根が一致することを確認します。

プライバシー

すべての計算はブラウザで局所的に実行されます — 入力はサーバーに送信されません。

関連ツール

2次方程式については、2次公式ソルバー を参照してください。単純な1次方程式については、1次方程式ソルバー を参照してください。