ヤコビ行列計算機
ベクトル値関数の1階偏導関数のヤコビ行列を構築します。行列が正方行列の場合は記号行列式、可逆性の判定、任意の点での数値評価が含まれます。
入力
最大4つの式。1行に1つ、またはセミコロンで区切ります。
最大4つの1文字の変数。
各変数に1つの値をカンマで区切ります。記号ヤコビ行列のみを表示する場合は空にします。
出力
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REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/jacobian-matrix-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"functions": "x^2*y\nx + z",
"variables": "x, y, z",
"point": "1, 2, 3"
}'ご自身のアカウントのキーに差し替えてください。ツールのフィールドがそのままリクエストボディになります——ラッパーはありません。
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Use the IOTools `jacobian-matrix-calculator` tool (Jacobian Matrix Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HEREIOTools MCPサーバーに接続された任意のエージェントにこれを貼り付け、入力内容を追加してください。
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ガイド
ヤコビ行列計算機は、ベクトル値関数 F = (f₁, f₂, …) の変数 (x₁, x₂, …) に対する ヤコビ行列 — 1階偏導関数の完全な行列 — を構築します。記号ヤコビ行列、行列が正方行列の場合の記号行列式、可逆性の判定、任意の点での数値評価、および各要素の完全なステップバイステップ導出を表示します。
多変数微積分と線形代数の学生が宿題の答えをチェックするために、また手でたくさんの偏導関数を計算することなくヤコビ行列が必要な人のために構築されています。
使い方
- f₁, f₂, … の関数を入力します — 1行に1つ、またはセミコロンで区切って — 標準的な数学記法を使用します:
^は累乗、*は乗算、およびsqrt()、sin()、cos()、log()と mathjs の式パーサーがサポートしている他の関数。最大4つの関数。 - 微分する 変数 をリストします。カンマで区切った1文字の変数 (例えば
x, y, z)。最大4つの変数。 - オプションとして、ヤコビ行列を数値的に評価する 点 を入力します — 各変数に1つの値をカンマで区切ります。記号ヤコビ行列のみを表示する場合は空のままにします。
- ヤコビ行列 J で偏導関数の行列 (行 i、列 j は ∂fᵢ/∂xⱼ)、形状 でその次元、行列式 |J| で行列が正方行列のときの記号行列式を読みます。
- 点で評価された値 は数値ヤコビ行列、行列式の値、および行列がその点で可逆かどうかを表示します。ステップバイステップの導出 はすべての計算された偏導関数を表示します。
結果はタイプしながら自動的に更新されます。たとえば、F = (x^2*y, x + z) と変数 x, y, z の場合、2×3 ヤコビ行列 [[2xy, x², 0], [1, 0, 1]] が得られます — 正方行列ではないため行列式はありません。一方、F = (xy, x + y) と変数 x, y の場合、正方ヤコビ行列 [[y, x], [1, 1]]、行列式 y − x、直線 y = x に沿う場所を除くすべての場所で可逆です。
ヤコビ行列とは?
ベクトル値関数 F(x₁, …, xₙ) = (f₁, …, fₘ) の場合、ヤコビ行列は m×n 行列です:
J[i][j] = ∂fᵢ/∂xⱼ各行は1つの関数の勾配です。各列は各関数が1つの変数にどのように応答するかです。これは単一導関数の多変数一般化であり、点の近くの F の1階 (線形) 近似がどのように見えるかです。
可逆性が重要なのはなぜですか?
ヤコビ行列が正方行列 (関数の数が変数の数と同じ) で、ある点での行列式がゼロでない場合、逆関数定理は F がその点で局所的に可逆であることを保証します — 出力の小さな変化は入力の小さな一意の変化にさかのぼることができます。この計算機はこの条件を自動的にチェックします: 行列式がどこでも同じくゼロの場合、行列はどこでも特異です (F は決して局所的に可逆ではありません)。そうでなければ、行列式が消えないすべての点で可逆です。
どんな関数が入力できますか?
mathjs の式評価器が理解するもの: 多項式 (x^2*y - 2*z)、三角関数 (sin(x*z)、cos(y))、根と対数 (sqrt(x)、log(y)) およびこれらの組み合わせ。三角関数の角度はデフォルトでラジアンです — π を表すには pi と書きます。関数として列挙するが変数としてはリストしない (またはその逆) シンボルは、微分中は定数として扱われます。
1つの関数を1つの変数で微分する場合は、偏導関数計算機 を参照してください。2×2/3×3 の数値行列操作 (行列式、逆行列、乗算) については、行列計算機 を参照してください。
プライバシー
この計算機はお使いのブラウザで完全に実行されます。関数、変数、点は決してアップロード、ログに記録、または保存されません — 計算はお使いのデバイスでローカルに実行されます。