線積分計算機
スカラー場またはベクトル場の線積分を媒介変数曲線に沿って数値的に計算し、曲線の弧長とベクトル場の保存場（回転）チェックを提供します。
入力
曲線 C（t でパラメータ化） — mathjs 構文: ^ は累乗、sqrt()、sin()、cos() など。
数値または定数式（例: 2*pi）。
弧長に関して積分するスカラー場。
出力
このツールを使う他の方法
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/line-integral-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"mode": "scalar",
"dimension": "2d",
"xt": "cos(t)",
"yt": "sin(t)",
"zt": "0",
"t0": "0",
"t1": "2*pi",
"f": "x^2 + y^2",
"p": "-y",
"q": "x",
"r": "0"
}'ご自身のアカウントのキーに差し替えてください。ツールのフィールドがそのままリクエストボディになります——ラッパーはありません。
AIエージェントに依頼する
Use the IOTools `line-integral-calculator` tool (Line Integral Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HEREIOTools MCPサーバーに接続された任意のエージェントにこれを貼り付け、入力内容を追加してください。
埋め込みウィジェット
<iframe
src="https://iotools.cloud/embed/line-integral-calculator/"
width="100%" height="520" frameborder="0" scrolling="no" loading="lazy"
title="線積分計算機 — iotools.cloud"
sandbox="allow-scripts allow-forms allow-same-origin allow-downloads allow-popups allow-popups-to-escape-sandbox"
allow="clipboard-write"
style="width:100%;border:1px solid #e5e7eb;border-radius:12px;overflow:hidden"></iframe>
<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>ご自身のページに貼り付けるだけ——無料、キー不要、リンクを掲載するだけです。
| API/MCP 1回あたりの費用 | 5クレジットから |
|---|---|
| クレジットが足りませんか? | 料金を見る |
次の方法でも利用可能
ガイド
線積分計算機は、媒介変数曲線 C: r(t) = (x(t), y(t)[, z(t)]) に沿った 線積分 を数値的に評価します。t ∈ [t0, t1] で、スカラー場 積分 ∫_C f ds（弧長に関して）または ベクトル場 積分 ∫_C F · dr（曲線に沿った変位に関して）のいずれかです。数値結果と一緒に、同じ区間での曲線の 弧の長さ と、ベクトル場の場合、F の回転に基づいた 保存場チェック を報告します。
ベクトル微積分学の学生が宿題の答えを確認し、また置換を手で設定せずに高速な数値線積分が必要な人向けに作られています。
使い方
- 積分の種類 を選択します: スカラー場（∫ f ds）またはベクトル場（∫ F · dr）。
- 曲線の次元 を選択します: 2D または 3D。
- 曲線の媒介変数表示を入力します: x(t)、y(t)、および（3D の場合）z(t) — 標準的な数学記法が使えます:
^は累乗、*は乗算、そしてsqrt()、sin()、cos()、log()および mathjs の式パーサーでサポートされている他の関数。 - t の下限 (t0) と t の上限 (t1) を入力します — 単純な数字だけでなく、
2*piなどの定数式も受け入れます。 - スカラー場の場合は f(x, y[, z]) を入力します。ベクトル場の場合は、その成分 P(x, y[, z])、Q(x, y[, z]) および（3D の場合）R(x, y, z) を入力します。
- 積分の結果（∫_C f ds または ∫_C F · dr）、弧の長さ を読みます — ベクトル場の場合、保存場？ も読みます。ステップバイステップの詳細 は dx/dt、dy/dt（3D の場合 dz/dt）、積分のセットアップ、および回転の計算を示します。
結果は入力するたびに自動的に更新されます。例えば、単位円 (cos(t), sin(t))、t ∈ [0, 2π] の周りのベクトル場 F = (-y, x) は線積分結果 6.28319 を返し、保存場ではない とマークされます。
積分はどのように計算されますか？
dx/dt、dy/dt、および dz/dt は、x(t)、y(t)、z(t) を微分することによって 記号的に 求められます。曲線、その導関数、およびフィールドは、[t0, t1] 全体で 1001 個の均等に配置された点で評価され、合成シンプソン則 と組み合わせられます — スカラー場の場合、f(r(t)) · |r′(t)| dt を積分します; ベクトル場の場合、[P dx/dt + Q dy/dt (+ R dz/dt)] dt を積分します。同じグリッドとルールで、弧の長さ ∫ |r′(t)| dt が計算されます。
保存場チェックとは何ですか？
ベクトル場 F = (P, Q[, R]) の場合、計算機は F の 回転 を記号的に計算し（2D では ∂Q/∂x − ∂P/∂y; 3D では完全な回転ベクトル）、それが恒等的にゼロに簡略化されるかどうかを確認します。そうであれば、F は 保存的に見える — 2 つのポイント間の線積分はそれらの間のパスに依存せず、エンドポイントだけに依存します。この偏導関数テストは、穴または特異点のあるドメイン（例えば、平面から削除された原点）上では 必要条件ですが十分ではありません ため、そのようなドメイン上で「保存場」の判定を絶対的な保証ではなく強い証拠として扱ってください。
どのような関数を入力できますか？
mathjs の式評価器が理解する任意のもの: 多項式、三角関数（sin、cos、tan）、根と対数（sqrt()、log()）、およびこれらの組み合わせ。曲線のパラメータとして t を、フィールドの変数として x、y、z を使用します。角度はデフォルトではラジアン単位です — π は pi と書きます。
3D ベクトル場の単一点での回転を直接求めるには、回転計算機 を参照してください; 曲線に沿わない矩形領域上の二重積分については、二重積分計算機 を参照してください。
プライバシー
このカリキュレーターはお使いのブラウザ内で完全に動作します。お客様の曲線、フィールド、および境界がアップロード、ログ、または保存されることはありません — 計算はお客様のデバイスで局所的に実行されます。