部分分数分解計算機

有理式 P(x)/Q(x) をより簡単な部分分数の和に分解する — 真分数または仮分数、重複する1次因数と既約2次因数を含む — 正確な有理数演算と完全なステップバイステップ導出を使用。

入力

分子 P(x)

x の多項式、例：3x + 5 または x^2 - 4。分母と同じ次数または高い次数も可能（仮分数） — 最初に除算します。

分母 Q(x) — 因数分解形

Q(x) を 1 次および/または 2 次因数の積として表します。各因数は括弧で囲み、オプションで ^power を付けます — 例：(x - 1)(x + 2)^2 または (x - 1)(x^2 + 1)。任意の多項式を自動的に因数分解することはできません（一般には正確に解くことができません） — 因数分解された形式を入力すると、すべてのステップが正確に計算されます。

出力

部分分数分解

多項式部分

部分分数項

分母因数	分子	項
No data yet

ステップバイステップ導出

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REST API

curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/partial-fraction-decomposition-calculator \
  -H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{
    "numerator": "3x + 5",
    "denominator": "(x - 1)(x + 2)"
  }'

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Use the IOTools `partial-fraction-decomposition-calculator` tool (Partial Fraction Decomposition Calculator) on this input:

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ガイド

部分分数分解は有理式 P(x)/Q(x) をより単純な分数に分解します。これらの分数を足すと元の式になります。これは分数を共通分母で足す操作の逆です。有理関数を積分する前の標準的な最初のステップであり、分母に重複因数または2次因数があると計算がすぐに面倒になります。この計算機は完全な方法を正確に実行します。すべての係数は正確な分数であり、丸められた小数ではなく、その結果を得るために解いた一次方程式系を示します。

使い方

分子 P(x) を x の多項式として入力します。例：3x + 5 または x^2 - 4。
分母 Q(x) を 因数分解された形 で入力します。1 次および/または 2 次因数の積で、各因数は括弧で囲み、オプションで ^power を付けます。例：(x - 1)(x + 2)^2 または (x - 1)(x^2 + 1)。
分解、多項式部分（分数が仮分数の場合）、項ごとの表、完全な導出を確認します。

分母をあらかじめ因数分解する必要がある理由

任意の多項式を正確に因数分解することは、4次を超える一般的な閉形式の解がなく、多項式が有理数上で因数分解されるかどうかを判定することも難しい問題です。「十分に近い」因数分解を黙って推測する計算機は、完全な確信を持って間違った答えを返すことになり、もう一つの質問をするより悪いです。Q(x) を既に因数分解された形で提供すれば、すべてのステップが正確に保たれます。根の検索なし、浮動小数点演算なし、決して使いません。入力した2次因数が有理数上で実際に可約であることが判明した場合（その判別式が完全平方である場合）、計算機は分解する前に自動的に2つの1次因数として書き換えます。

方法

仮分数ですか？ deg(P) ≥ deg(Q) の場合、最初に除算します（通常の多項式の長除法）。多項式部分と適切な余りを得てから、余りを分解します。
仮設を構築します。 各1次因数 (x − r) は度数 n で A₁/(x−r) + A₂/(x−r)² + … + Aₙ/(x−r)ⁿ に寄与します。各既約2次因数は度数 n で (B₁x + C₁)/(quad) + … + (Bₙx + Cₙ)/(quad)ⁿ に寄与します。
係数を等置します。 両辺に Q(x) を掛けて、x の各べき乗の係数を比較します。これにより、未知の分子の一次方程式の正方形システムが生成されます。これは有理数分数（BigInt）上の正確なガウス-ジョルダン消去法で解かれます。
最も単純なケース — すべての分母因数が線形で異なり、繰り返しなし — では、導出は独立した交差検証として cover-up（ヘビサイド）ショートカットも示します。各 (x − r) をカバーして、残りすべてを x = r で評価します。

FAQ

なぜ2次因数には単なる `A` ではなく `(Ax + B)` が必要なのですか？

既約2次の上の単一の定数は、その次数の可能なすべての分子を再現することはできません — 分子が独自の x 項を持つことが許可されるか、方程式系が一般的な P(x) に対して解を持たないかです。

分母の因数が1次または2次に適合しない場合はどうですか？

さらに因数分解します。すべての実多項式は線形および既約2次部分に因数分解されるため、お持ちの3次またはそれ以上の因数は最終的な因数分解形になっていません — ここに入力する前に、残りを因数分解してください（手動で、または立方方程式ソルバーを使用）。

私の因数が monic ではありません（例：`(2x - 4)`） — これは重要ですか？

いいえ。お持ちの形式通りに入力してください。計算機は主導係数を内部で抽出し、分子に折り込むため、(2x - 4) と (x - 2) は同じ基礎的な分数項に分解されます。

プライバシー

すべての計算はお使いのブラウザ内で完全に実行されます。入力した分子と分母がサーバーに送信されることはありません。

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