多項式根計算機
1次から12次までの多項式のすべての実根と複素根を求めます。最高次項から係数を入力し、2次以下の場合は正確な公式、より高い次数の場合はDurand–Kerner反復を使用します。
入力
最高次項から定数項までの係数をカンマまたはスペースで区切ったもの（1次～12次）。小数に対応しています。
出力
| 根 | 実部 | 虚部 |
|---|---|---|
| No data yet | ||
このツールを使う他の方法
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/polynomial-roots-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"coefficients": "1, -5"
}'ご自身のアカウントのキーに差し替えてください。ツールのフィールドがそのままリクエストボディになります——ラッパーはありません。
AIエージェントに依頼する
Use the IOTools `polynomial-roots-calculator` tool (Polynomial Roots Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HEREIOTools MCPサーバーに接続された任意のエージェントにこれを貼り付け、入力内容を追加してください。
埋め込みウィジェット
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| API/MCP 1回あたりの費用 | 5クレジットから |
|---|
次の方法でも利用可能
ガイド
多項式のすべての根を手で求めることは2次まで上手くいきますが、それ以上になると一般的な代数公式は存在せず、試行錯誤による実根や複素根の探索はすぐに信頼性が低下します。この計算機は：実数、無理数、複素数のすべての根を同時に求めることができます。1次から12次までの任意の多項式に対応しています。
使い方
- 多項式の係数を最高次から順に入力します。例えば、x³ − 6x² + 11x − 6 の場合は
1, -6, 11, -6と入力します（欠けている項は0で、これは重要です：スキップしないでください）。 - 解析された方程式（入力したものが正しいか確認できます）、根の完全な表、そして使用された方法を確認できます。
小数に対応しています。係数は整数である必要はありません。
方法
- 1次: 直接計算。x = −b⁄a
- 2次: 二次公式。x = (−b ± √(b² − 4ac)) ⁄ 2a — 判別式が正の場合は2つの実根、ゼロの場合は重根、負の場合は複素共役ペアが得られます。
- 3次～12次: Durand–Kerner反復。すべてのn個の根を同時に各パスで改善する数値法です。r ← r − f(r) ⁄ Π(r − rⱼ) — 各ステップで他のすべての現在の根推定値を使用します。Cauchy境界に基づいてスケーリングされた円の周りに分布する点から開始して、実根と複素根の完全なセットに同時に収束します。これが一般的な代数公式が存在しない場合の標準的なアプローチです。
浮動小数点の微小な残差（表示される任意の桁よりはるかに小さい）は正確に0に丸められるため、実は実根である根は 1e-14i のような余分な虚部は表示されません。
FAQ
3次多項式が時に1つの実根と1つの複素ペアを示し、時に3つの実根を示すのはなぜですか？
これは方法ではなく多項式そのものによって決まります。実係数の3次多項式は常に少なくとも1つの実根を持ち、さらに2つの実根または複素共役ペアのいずれかを持ちます。この計算機は係数が実際に生成するものを求めます。
根の精度はどの程度ですか？
Durand–Kerner反復は根が1e-13以上移動しなくなるまで繰り返され、結果は有効数字6桁で表示されます。これはあらゆる実用的な用途に十分な精度ですが、3次以上の場合は厳密な閉じた形式ではなく数値近似です。
これが扱える最大の多項式の次数は？
12次（13個の係数）です。それ以上になると、汎用計算機では根探索が数値的に不安定になります。高次多項式の係数は根の正確な位置に対して非常に敏感です。
関連ツール
整数係数の多項式で有理根のみを探索する場合（厳密な分数と因数分解された形式を表示）は、多項式因数分解計算機を参照してください。特に二次式の場合で、完全な段階的導出を見たい場合は、二次公式計算機を参照してください。多項式を既知の根で除算して余りを確認する場合は、組立除法計算機を参照してください。
プライバシー
すべての計算はブラウザ内で完全に実行されます。入力した係数はサーバーに送信されることはありません。