級数収束判定計算機

級数収束判定計算機は、無限級数が絶対収束、条件付き収束、または発散するかを判定します — べき級数、等比級数、交代級数、および他の3つの標準級数族について。比判定法と根判定法の正確な極限、発散判定法（n項判定法）、どのルールが実際に結果を決定したのか、および実行中の部分和を表示します。

使い方

1. 級数族を選択します — べき級数、等比級数、交代べき級数、多項式×等比、指数/階乗、または交代有理式。
2. その族のパラメータを入力します — 指数、比、または底 — および開始インデックス n₀。
3. 表示する部分和の個数を選択します。
4. 判定結果と決定的なルールを読んで、答えと背後にある正確な定理を確認するか、またはステップバイステップの計算で全体像を確認します。

なぜ単に大きなnで比判定法をサンプリングしないのか？

ほとんどの収束計算機は、大きなnで級数を評価してトレンドが落ち着いたことを期待することで、比判定法と根判定法を近似します。これは最も一般的な収束の質問で失敗します：べき級数 (Σ 1/nᵖ) の場合、比判定法の極限と根判定法の極限はpのすべての値について正確に1です — したがって、数値サンプリングの量では、収束するp = 2級数と発散するp = 1（調和）級数を区別することはできません。この計算機は代わりに、正確な閉形式の解析的基準 — べき級数判定法、等比級数判定法、交代級数判定法、または極限比較 — で各族を分類し、比/根判定法の正確な極限（0、|r|、または1）を報告します。浮動小数点の推測ではなく。

6つの級数族

• べき級数 — Σ 1/nᵖ。p > 1の場合にのみ収束（絶対）。それ以外の場合は発散します。これはp = 1の調和級数です。
• 等比級数 — Σ rⁿ。|r| < 1の場合にのみ収束（絶対）します。
• 交代べき級数 — Σ (-1)ⁿ/nᵖ。p > 1では絶対収束、0 < p ≤ 1では条件付き収束（交代級数判定法により、べき級数判定法はそこでΣ 1/nᵖ自体が発散すると言っていても）、p ≤ 0では発散します。
• 多項式×等比 — Σ nᵃ·rⁿ。|r| ≠ 1の場合は比判定法だけで決定されます（等比因子は常に多項式因子に勝ちます）；|r| = 1の場合はnᵃの単純または交代べき級数に減少します。
• 指数/階乗 — Σ bⁿ/n!。n! は最終的に任意の固定指数bⁿより速く成長するため、すべての実数bについて絶対収束します — 比判定法の極限は常に0です。（この級数はeᵇに合計されます。）
• 交代有理式 — Σ (-1)ⁿ·n/(n²+a)。すべてのa ≥ 0について条件付き収束：項は0に収縮しますが、符号なし級数は極限比較により調和級数のように発散します。

「絶対」「条件付き」「発散」の意味

• 絶対収束 — Σ |aₙ| も収束します。級数は項を足す順序に関係なく収束します。
• 条件付き収束 — Σ aₙ は収束しますが、Σ |aₙ| は収束しません。条件付き収束級数の項を並べ替えると、その合計が変わる（または発散する）可能性があります — リーマン級数定理。
• 発散 — 部分和が有限値に落ち着きません。

プライバシー

この計算機はお使いのブラウザで完全に実行されます。選択した級数族、パラメータ、開始インデックスがアップロード、ログ記録、または保存されることはありません。