テイラー級数計算機
関数f(x)を任意の中心aについてのテイラー(またはマクローリン)多項式に展開し、選択した次数まで計算します。各係数を構築するために使用されるすべての導関数と、ポイントでの任意の評価を、実際の関数値と比較します。
入力
a = 0 の場合、マクローリン級数が得られます。
オプション — 多項式の近似を実際のf(x₀)と比較します。記号結果のみが必要な場合は空白のままにします。
出力
このツールを使う他の方法
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/taylor-series-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"f": "sin(x)",
"a": "0",
"n": "5",
"x0": "1"
}'ご自身のアカウントのキーに差し替えてください。ツールのフィールドがそのままリクエストボディになります——ラッパーはありません。
AIエージェントに依頼する
Use the IOTools `taylor-series-calculator` tool (Taylor Series Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HEREIOTools MCPサーバーに接続された任意のエージェントにこれを貼り付け、入力内容を追加してください。
埋め込みウィジェット
<iframe
src="https://iotools.cloud/embed/taylor-series-calculator/"
width="100%" height="520" frameborder="0" scrolling="no" loading="lazy"
title="テイラー級数計算機 — iotools.cloud"
sandbox="allow-scripts allow-forms allow-same-origin allow-downloads allow-popups allow-popups-to-escape-sandbox"
allow="clipboard-write"
style="width:100%;border:1px solid #e5e7eb;border-radius:12px;overflow:hidden"></iframe>
<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>ご自身のページに貼り付けるだけ——無料、キー不要、リンクを掲載するだけです。
| API/MCP 1回あたりの費用 | 5クレジットから |
|---|---|
| クレジットが足りませんか? | 料金を見る |
次の方法でも利用可能
ガイド
テイラー級数計算機は、関数 f(x) を任意の中心 a についてのテイラー多項式に展開し、選択した次数（1次～10次）まで計算します。各係数を構築するために使用されるすべての導関数、得られた多項式、および — ポイント x₀ を与える場合 — 多項式がどの程度に実際の f(x₀) に近いかを示します。
テイラー級数またはマクローリン級数の宿題問題をチェックする微積分の学生向け、および級数近似がなぜ機能するかを見たい人向けに作られています。各項は中心で評価された導関数から直接得られ、階乗で除算されます。何も隠されていません。
使い方
- 関数 f(x) を入力します — 標準的な数学記号が機能します：
^は累乗、*は乗算、およびsqrt()、sin()、cos()、exp()、log()と mathjs の式パーサーがサポートする他の関数。 - 中心 a を入力します — マクローリン級数の場合は
0のままにします（原点を中心とするテイラー級数）。 - 次数 を選択します — 展開のいくつの項を計算するか。
- オプションで、ポイント x₀ を入力して、多項式の近似を実際の f(x₀) の値と比較します。
- 展開については テイラー多項式 を、それを構築したすべての導関数と係数については ステップバイステップ導出 をお読みください。
入力すると結果は自動的に更新されます。例えば、f = sin(x) について a = 0 次数 5 の場合、P(x) = x - 0.166667x³ + 0.00833333x⁵ が得られます — これは x = 1 で 0.841667 に近く、実際の sin(1) 0.841471 に対してです。
各係数はどのように計算されますか？
中心 a についての f(x) の n 次テイラー多項式は：
P(x) = f(a) + f′(a)(x - a) + f″(a)/2!·(x - a)² + ... + f⁽ⁿ⁾(a)/n!·(x - a)ⁿ各係数は f の k 次導関数を中心 a で評価し、k! で割ったものです。この計算機は f を象徴的に k 回連続で微分します。各導関数は前のものから計算されます。各結果を a で評価し、実行中の階乗で割ります。出力内のすべての係数は、手で確認できる明示的な導関数にさかのぼることができます。
なぜ近似がぴったりと一致しないのですか？
テイラー多項式は中心自体（x = a）でのみ正確です。それ以外の場所では、次数が増加するにつれて精度が向上し、x₀ が a から遠いほど悪くなる近似です。|誤差| の値はまさにそのギャップです — |実際の f(x₀) − P(x₀)| — ですから、トレードオフを直接見ることができます。より正確な近似のために次数スライダーを上げるか、x₀ を a に近づけます。
どのような関数を入力できますか？
mathjs の式評価器が理解して微分できるもの：多項式（x^3 - 2*x）、三角関数（sin(x)、cos(x)、tan(x)）、指数関数と対数（exp(x)、log(x)）、根号（sqrt(x)）、およびこれらの組み合わせ。変数として x を使用します。三角関数の角度はデフォルトではラジアン — π には pi と書きます。
陰関数の導関数が必要ですか？ 陽関数の級数の代わりに陰関数導関数計算機を参照してください。多変数関数の勾配または方向微分については、方向微分計算機を参照してください。
プライバシー
この計算機はブラウザで完全に実行されます。関数、中心、次数、およびポイントはアップロード、ログ記録、または保存されることはありません — 計算はデバイス上でローカルに行われます。