Calculadora de Expansão do Teorema Binomial

A Calculadora de Expansão do Teorema Binomial expande (a + b)ⁿ para qualquer expoente inteiro até 50, listando cada termo da expansão juntamente com seu coeficiente binomial, seu coeficiente numérico calculado e sua forma algébrica. Digite o termo a, o termo b e o expoente n para obter a expansão completa, uma tabela de análise termo a termo e duas somas contínuas.

É construída para alunos de álgebra e combinatória verificando expansões binomiais manualmente, professores preparando exemplos resolvidos e qualquer pessoa que precise de uma expansão exata com um expoente grande demais para expandir por multiplicação repetida.

Como usar

1. Digite o termo a — um coeficiente inteiro mais uma variável de letra única opcional, ex. 2x, -y, ou 3.
2. Digite o termo b no mesmo formato.
3. Defina o expoente (n) com o controle deslizante, de 0 a 50.
4. Leia a Expressão e a Expansão Completa, percorra a tabela Termos para o coeficiente binomial e valor de cada termo e verifique as duas somas de coeficientes.

Os resultados são atualizados automaticamente conforme você digita. Por exemplo, a = 2x, b = 3, n = 4 expande para 16x^4 + 96x^3 + 216x^2 + 216x + 81.

O teorema binomial

Para um número inteiro n, (a + b)ⁿ expande como:

(a + b)^n = Σ (k = 0 to n) C(n,k) · a^(n−k) · b^k

Cada C(n,k) — lido como "n escolhe k" — é um coeficiente binomial da linha n do triângulo de Pascal: C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!). A calculadora constrói o triângulo de Pascal até a linha n, então multiplica cada coeficiente por a^(n−k) · b^k para obter o coeficiente numérico final de cada termo.

Por que aritmética exata importa em n = 50

Um coeficiente como 9 elevado à 50ª potência tem 48 dígitos — muito além do que números de ponto flutuante comuns podem representar exatamente (perdem precisão após cerca de 15–17 dígitos significativos). Cada etapa aqui — triângulo de Pascal, coeficiente de cada termo e ambas as somas contínuas — é calculada com aritmética de inteiros de precisão arbitrária, portanto os resultados permanecem exatos não importa quão grandes sejam os coeficientes ou expoente.

As duas somas de coeficientes

• Soma dos Coeficientes Binomiais é C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n), que sempre é igual a 2ⁿ — independente do que a e b realmente são.
• Soma de Todos os Coeficientes é a soma do coeficiente numérico calculado de cada termo (o coeficiente binomial vezes as potências dos próprios coeficientes de a e b). Definir as variáveis como 1 mostra por quê: é sempre igual a (a + b)ⁿ avaliado apenas com os coeficientes numéricos — para 2x + 3 é (2 + 3)^4 = 625, correspondendo a 16 + 96 + 216 + 216 + 81.

Combinando variáveis semelhantes

Se ambos os termos usam a mesma letra de variável (ex. x e x), a calculadora mescla seus expoentes em uma única potência em vez de mostrar lado a lado — então (x + x)^2 se lê como 4x^2, não 4x^1x^1. Letras de variáveis diferentes (ex. x e y) permanecem separadas, produzindo termos mistos como x^3y.

Privacidade

Esta calculadora funciona inteiramente em seu navegador. Seus termos e expoente nunca são enviados, registrados ou armazenados — o cálculo acontece localmente em seu dispositivo.

Ferramentas relacionadas

Para uma equação de dois termos relacionada resolvida por uma rota algébrica diferente, consulte a Calculadora de Complementação do Quadrado.