Calculadora de Completar o Quadrado

A Calculadora de Completar o Quadrado converte qualquer equação da forma ax² + bx + c = 0 para a forma de vértice a(x − h)² + k, e resolve x completando o quadrado em vez de recorrer diretamente à fórmula quadrática. Digite os três coeficientes — a, b e c — e ela retorna a forma de vértice, o ponto de vértice (h, k), as raízes e uma derivação completa passo a passo mostrando exatamente como cada uma é alcançada.

Ela foi construída para alunos de álgebra aprendendo o próprio método de completar o quadrado (não apenas a resposta), professores preparando exemplos resolvidos e qualquer pessoa que precise da forma de vértice de uma parábola sem fazer a álgebra manualmente.

Como usar

1. Digite o coeficiente a (o número multiplicando x²). Não deve ser zero.
2. Digite o coeficiente b (o número multiplicando x).
3. Digite o coeficiente c (o termo constante).
4. Leia Forma de Vértice e Vértice (h, k) para a equação convertida, Raízes para a solução, e Solução Passo a Passo para a derivação completa.

Os resultados são atualizados automaticamente conforme você digita. Por exemplo, digitando a = 1, b = 6, c = 5 (para x² + 6x + 5 = 0) retorna a forma de vértice y = (x + 3)² - 4, vértice (-3, -4) e raízes x₁ = -1, x₂ = -5.

O que é completar o quadrado?

Completar o quadrado reescreve ax² + bx + c fatorando a dos termos x² e x, depois adicionando e subtraindo o quadrado da metade do coeficiente x para que a expressão dentro dos parênteses se torne um trinômio quadrado perfeito:

ax² + bx + c
= a(x² + (b/a)x) + c
= a(x² + (b/a)x + (b/2a)²) − a(b/2a)² + c
= a(x + b/2a)² + (c − b²/4a)
= a(x − h)² + k,   onde h = −b/(2a),  k = c − b²/(4a)

Essa última linha é forma de vértice — para a parábola y = ax² + bx + c, o ponto (h, k) é seu vértice (o mínimo se a > 0, o máximo se a < 0).

Como ele resolve para x?

Definindo a forma de vértice como zero e isolando o termo ao quadrado:

a(x − h)² + k = 0  →  (x − h)² = −k/a

• Se −k/a > 0, há duas raízes reais distintas: x = h ± √(−k/a).
• Se −k/a = 0, há uma raiz real repetida: x = h.
• Se −k/a < 0, há duas raízes complexas conjugadas: x = h ± i√(k/a).

Estas são exatamente as mesmas raízes que a fórmula quadrática produz para o mesmo a, b, c — completar o quadrado é uma rota diferente para a mesma resposta, e é de fato como a própria fórmula quadrática é derivada. Para resolver via discriminante diretamente, veja o Resolvedor de Fórmula Quadrática.

Por que a não pode ser zero?

Se a = 0, o termo x² desaparece e a equação se reduz a bx + c = 0 — uma equação linear sem vértice para completar o quadrado. A calculadora marca a = 0 como entrada inválida em vez de silenciosamente mudar para lógica de equação linear.

Como as raízes complexas são formatadas?

As raízes complexas são mostradas em notação padrão a + bi, por exemplo -0.5 + 0.866025i e seu conjugado -0.5 - 0.866025i — a parte real é h do vértice, e a parte imaginária vem de √(k/a).

Privacidade

Essa calculadora é executada inteiramente no seu navegador. Seus coeficientes nunca são enviados, registrados ou armazenados — o cálculo acontece localmente no seu dispositivo.

Ferramentas relacionadas

Para resolver a mesma equação via discriminante, veja o Resolvedor de Fórmula Quadrática.