Calculadora de Números Complexos
Adicione, subtraia, multiplique ou divida dois números complexos (a + bi). Retorna o resultado junto com seu módulo, conjugado e forma polar, com uma derivação passo a passo.
Entrada
Saída
Mais formas de usar esta ferramenta
API REST
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/complex-numbers-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"operation": "add",
"real1": "3",
"imag1": "4",
"real2": "1",
"imag2": "2"
}'Troque pela sua própria chave, da sua conta. Os campos da ferramenta viram o corpo da requisição — sem envelope.
Peça a um agente de IA
Use the IOTools `complex-numbers-calculator` tool (Complex Numbers Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HERECole isto em qualquer agente conectado ao servidor MCP do IOTools e depois adicione sua entrada.
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Guias
A Calculadora de Números Complexos adiciona, subtrai, multiplica ou divide dois números complexos na forma a + bi. Digite as partes real e imaginária de z₁ e z₂, escolha uma operação e obtenha instantaneamente o resultado junto com seu módulo, conjugado e forma polar — além de uma derivação passo a passo mostrando exatamente como a resposta foi obtida.
Construída para estudantes de álgebra e engenharia que verificam lições de casa, professores preparando exemplos resolvidos e qualquer pessoa que trabalhe com circuitos elétricos, processamento de sinais ou análise complexa e precise de um cálculo rápido e confiável.
Como usar
- Escolha a operação: adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir.
- Digite a parte real a e a parte imaginária b de z₁.
- Digite a parte real c e a parte imaginária d de z₂.
- Leia os campos Resultado, Módulo, Conjugado e Forma polar, além da Solução Passo a Passo para a derivação completa.
Os resultados são atualizados automaticamente conforme você digita. Por exemplo, adicionar z₁ = 3 + 4i e z₂ = 1 + 2i retorna 4 + 6i.
As quatro operações
Adicionar: (a + c) + (b + d)i
Subtrair: (a − c) + (b − d)i
Multiplicar: (ac − bd) + (ad + bc)i
Dividir: ((ac + bd) / (c² + d²)) + ((bc − ad) / (c² + d²))iA multiplicação e a divisão dependem de i² = −1: multiplicar (a + bi)(c + di) expande para ac + adi + bci + bdi², e o termo bdi² muda para −bd uma vez que i² é substituído por −1. A divisão multiplica ambos os lados pelo conjugado de z₂ (c − di) para eliminar a parte imaginária do denominador, deixando c² + d² — o módulo ao quadrado de z₂.
O que são módulo, conjugado e forma polar?
- Módulo — a distância da origem ao ponto (real, imaginário) no plano complexo: |z| = √(real² + imaginário²).
- Conjugado — a mesma parte real com o sinal da parte imaginária invertido: real − imaginário·i. Conjugados são o que a divisão usa para eliminar o denominador.
- Forma polar — o mesmo número expresso como uma magnitude e um ângulo em vez de partes real e imaginária: r(cos θ + i sin θ), onde r é o módulo e θ (em graus, de −180° a 180°) é o ângulo do eixo real positivo.
Por que a divisão rejeita z₂ = 0 + 0i?
Dividir por zero é indefinido para números complexos da mesma forma que é para números reais — o denominador c² + d² seria zero, tornando o resultado infinito/indefinido. A calculadora sinaliza isso em vez de silenciosamente retornar Infinity ou NaN.
Números complexos também aparecem ao resolver equações que não têm soluções reais — veja o Resolvedor de Fórmula Quadrática, cujo ramo de raiz conjugada complexa usa a mesma notação a + bi.
Privacidade
Esta calculadora funciona inteiramente em seu navegador. Seus números nunca são enviados, registrados ou armazenados — o cálculo ocorre localmente em seu dispositivo.