Calculadora de Rotacional

A Calculadora de Rotacional encontra o rotacional de um campo vetorial 3D F(x, y, z) = (P, Q, R) em um ponto — um vetor que mede a rotação local, ou "giro," do campo naquele ponto. Mostra o rotacional simbólico simplificado (ainda uma função de x, y, z) junto com o vetor rotacional numérico no ponto escolhido, com uma derivação completa passo a passo de cada derivada parcial envolvida.

É construído para estudantes de cálculo multivariável e cálculo vetorial verificando uma resposta de tarefa de casa, e para qualquer pessoa que precise de curl F sem diferenciar seis derivadas parciais manualmente.

Como usar

1. Digite os três componentes do seu campo vetorial: P(x, y, z), Q(x, y, z) e R(x, y, z) — a notação matemática padrão funciona: ^ para potências, * para multiplicação, além de sqrt(), sin(), cos(), log(), e outras funções suportadas pelo analisador de expressões mathjs.
2. Digite o ponto (x, y, z) em que avaliar o rotacional.
3. Leia curl F em (x, y, z) para o vetor rotacional numérico, ou as componentes i, j, k separadamente.
4. Derivação Passo a Passo mostra todas as seis derivadas parciais, o rotacional simbólico simplificado e a avaliação numérica final.

Os resultados são atualizados automaticamente enquanto você digita. Por exemplo, o campo de rotação F = (-y, x, 0) em (1, 2, 3) retorna um rotacional de (0, 0, 2) — um giro constante ao redor do eixo z, independente de onde você o avalie.

O que é rotacional?

Para um campo vetorial F(x, y, z) = (P, Q, R), o rotacional é definido como:

curl F = ∇ × F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y)

Fisicamente, o rotacional mede quanto um campo vetorial "circula" ou gira ao redor de um ponto — se você deixasse cair uma pequena roda de pá no campo naquele ponto, curl F apontaria ao longo de seu eixo de rotação (pela regra da mão direita) e sua magnitude seria proporcional a quão rápido a roda giraria. Um rotacional de zero em todos os lugares significa que o campo não possui rotação local em lugar algum — é chamado irrotacional, e (em um domínio simplesmente conexo) também é um campo conservativo, o que significa que é o gradiente de alguma função de potencial escalar.

Por que a calculadora mostra o rotacional simbólico também?

O rotacional é em si um campo vetorial — uma função de (x, y, z) — não apenas um número em um ponto. Ver a expressão simbólica simplificada para cada componente (antes de inserir números) torna possível verificar se curl F é zero em todos os lugares (conservativo), constante (como uma rotação rígida) ou varia de ponto a ponto, o que apenas o único vetor avaliado não consegue mostrar.

Quais funções posso digitar?

Qualquer coisa que o avaliador de expressões mathjs entenda: polinômios (x^2*y - 2*z), funções trigonométricas (sin(x*z), cos(y)), raízes e logaritmos (sqrt(x), log(y)), e combinações destas, usando x, y e z como as três variáveis. Ângulos em funções trigonométricas estão em radianos por padrão — escreva pi para π.

Para avaliar expressões matemáticas arbitrárias diretamente, veja Math Evaluator, ou para encontrar a taxa de mudança média de uma função de uma variável, veja Average Rate of Change Calculator.

Privacidade

Esta calculadora funciona inteiramente no seu navegador. Seu campo vetorial e ponto nunca são carregados, registrados ou armazenados — o cálculo ocorre localmente no seu dispositivo.