Calculadora da Regra de Descartes dos Sinais

A Calculadora da Regra de Descartes dos Sinais encontra quantas raízes reais positivas e raízes reais negativas um polinômio pode ter, sem resolvê-lo. Digite os coeficientes do termo de grau mais alto até o termo constante, e ela conta as mudanças de sinal, lista cada contagem possível de raízes e cria uma tabela completa de combinações de raízes (positiva, negativa, complexa) consistentes com o grau do polinômio.

Foi construída para alunos de álgebra e pré-cálculo verificarem o número de raízes antes de fatorar ou aplicar a fórmula quadrática/cúbica, e para quem quer um limite rápido de quantas raízes reais esperar.

Como usar

1. Digite os coeficientes, separados por vírgula ou espaço, do termo de grau mais alto até o constante. Por exemplo, 1,-3,2,5,-1 representa x⁴ - 3x³ + 2x² + 5x - 1.
2. Leia as contagens de mudança de sinal para f(x) e f(-x).
3. Verifique as contagens possíveis de raízes e a tabela Combinações de Raízes para cada divisão (positiva, negativa, complexa) válida.
4. Use a Derivação Passo a Passo para ver exatamente como cada contagem foi alcançada.

Os resultados são atualizados automaticamente conforme você digita.

O que é a Regra de Descartes dos Sinais?

Para um polinômio com coeficientes reais, escrito do grau mais alto até o termo constante:

• O número de raízes reais positivas (contadas com multiplicidade) é igual ao número de mudanças de sinal entre coeficientes nonzero consecutivos de f(x), ou menos que isso por um número par.
• O número de raízes reais negativas segue a mesma regra aplicada a f(-x) — o polinômio com o coeficiente de cada termo de grau ímpar negado.

Coeficientes zero são completamente ignorados ao contar mudanças de sinal — eles não contam como um "sinal" de um jeito ou outro, então um termo como x⁴ + 0x³ - 1 é lido como +, - (uma mudança de sinal), não +, 0, -.

Por que "ou menos por um número par"?

A regra fornece um limite superior, não uma contagem exata, porque raízes não reais sempre vêm em pares conjugados complexos. Se as mudanças de sinal sugerem até 3 raízes positivas, o número real poderia ser 3 ou 1 — os "faltantes" 2 seriam um par conjugado complexo em vez disso. É por isso que a calculadora lista cada possibilidade (3, 1) em vez de um único número, e por que a tabela Combinações de Raízes sempre preenche o restante do grau com um número par de raízes complexas.

Lendo a tabela Combinações de Raízes

Cada linha é uma maneira matematicamente consistente de contabilizar cada raiz do polinômio: uma contagem de raízes reais positivas, uma contagem de raízes reais negativas e uma contagem de raízes complexas (não reais) — os três sempre somam o grau do polinômio. Um polinômio de grau 4 com 3 possíveis mudanças de sinal positivas e 1 mudança de sinal negativa, por exemplo, poderia ter 3 raízes positivas + 1 negativa + 0 complexas, ou 1 raiz positiva + 1 negativa + 2 complexas — ambas as linhas aparecem na tabela, e as raízes reais (encontradas resolvendo o polinômio) corresponderão exatamente a uma delas.

Para realmente resolver as raízes em vez de apenas limitar quantas existem, veja o Resolvedor de Equação Cúbica para grau 3 ou o Resolvedor de Fórmula Quadrática para grau 2.

Privacidade

Esta calculadora funciona inteiramente no seu navegador. Seus coeficientes nunca são carregados, registrados ou armazenados — o cálculo acontece localmente no seu dispositivo.