Calculadora do Método de Euler

A Calculadora do Método de Euler resolve numericamente um problema de valor inicial — uma equação diferencial dy/dx = f(x, y) junto com um ponto de partida y(x0) = y0 — usando o método de Euler explícito (progressivo). Ela avança a partir do ponto de partida em incrementos fixos de tamanho h, produzindo uma tabela completa de cada x, y e inclinação intermediária, além de uma coluna de erro opcional quando a verdadeira solução (exata) é conhecida.

Foi construída para estudantes verificando um problema de lição de casa de métodos numéricos, e para qualquer pessoa que precise de uma solução aproximada rápida para uma EDO sem configurar uma planilha manualmente.

Como usar

1. Insira o lado direito da equação diferencial como f(x, y) — a notação matemática padrão funciona: ^ para potências, além de sqrt(), sin(), cos(), exp(), log() e outras funções suportadas pelo analisador de expressões do mathjs.
2. Insira a condição inicial, x0 e y0.
3. Configure o tamanho do passo (h) e o número de passos (n).
4. Opcionalmente insira a solução exata y(x), se a conhecer, para adicionar colunas de erro absoluto e relativo.
5. Leia a tabela de Resumo para a aproximação final (e, se uma solução exata foi fornecida, o erro final e máximo), e a Tabela Passo a Passo para cada valor intermediário.

Os resultados são atualizados automaticamente conforme você digita. Por exemplo, dy/dx = x + y com y(0) = 1, h = 0.1, em 5 passos aproxima y(0.5) ≈ 1.72102.

O que é o método de Euler?

O método de Euler aproxima a curva da solução de dy/dx = f(x, y) ao tomar repetidamente um pequeno passo na direção da inclinação atual:

x_(n+1) = x_n + h
y_(n+1) = y_n + h · f(x_n, y_n)

Começando de (x0, y0), cada novo ponto usa a inclinação f(x, y) calculada no ponto anterior — é isso que torna "explícito" (ou "progressivo") Euler, o método numérico mais simples para resolver uma equação diferencial ordinária. É um método de primeira ordem: reduzir o tamanho do passo pela metade reduz aproximadamente o erro pela metade, então um h menor fornece uma aproximação mais precisa ao custo de mais passos.

Por que a calculadora pede uma solução exata?

Se você já conhece (ou derivou separadamente) a solução de forma fechada y(x) — por exemplo porque a EDO é separável ou linear — inseri-la permite que a calculadora mostre exatamente o quão distante a aproximação de Euler é a cada passo, através das colunas de Erro Absoluto (|exata − aproximada|) e Erro Relativo (erro absoluto como percentual do valor exato), além do erro final e máximo no resumo. Esta é a forma padrão de verificar a sanidade de um método numérico: aplique-o a um problema que você também pode resolver exatamente e veja como o erro cresce.

Que funções posso inserir?

Qualquer coisa que o avaliador de expressões do mathjs entenda: polinômios (x^2 - y), funções trigonométricas (sin(x), cos(y)), exponenciais e logaritmos (exp(x), log(y)), e combinações destas, em termos de x e y. O campo de solução exata usa a mesma linguagem de expressão, mas apenas em termos de x.

Para avaliar uma expressão única diretamente, consulte a Calculadora de Matemática. Para a inclinação de uma linha secante entre dois pontos em uma função, consulte a Calculadora de Taxa Média de Mudança.

Privacidade

Esta calculadora funciona inteiramente no seu navegador. Sua equação diferencial, condição inicial e cada valor calculado nunca são carregados, registrados ou armazenados — o cálculo acontece localmente no seu dispositivo.