Calculadora da Função Gama

O que esta calculadora faz?

Digite um número real x e esta ferramenta calculará Γ(x), a função gama, juntamente com seu logaritmo natural ln|Γ(x)|. A função gama estende o fatorial para números reais não-inteiros e negativos: para um inteiro positivo n, Γ(n) = (n-1)!. É avaliada com uma aproximação de Lanczos precisa em aproximadamente 14-15 dígitos significativos.

Como usá-la

1. Digite um valor para x, entre -50 e 170 — fora desse intervalo, o valor verdadeiro transborda em direção a zero ou excede o que um número de ponto flutuante de 64 bits pode representar.
2. Leia Γ(x) e ln|Γ(x)| na tabela de resultados. A coluna de logaritmo é útil uma vez que Γ(x) fica astronomicamente grande (em x = 100, Γ(x) já está acima de 10¹⁵⁵) — seu logaritmo permanece um número de tamanho normal que você pode realmente comparar.

A matemática

Para x real positivo, a função gama é definida pela integral imprópria:

Γ(x) = ∫₀^∞ t^(x-1) · e^(-t) dt

que satisfaz a recorrência Γ(x+1) = x · Γ(x), a mesma relação que o fatorial segue — assim Γ(1) = 1, Γ(2) = 1, Γ(3) = 2, Γ(4) = 6, e em geral Γ(n) = (n-1)! para inteiros positivos.

Para não-inteiros, Γ(0.5) = √π ≈ 1.7725, e valores de meio-inteiro seguem fórmulas Γ(n + 1/2) construídas a partir disso. Para não-inteiros negativos, a fórmula de reflexão de Euler estende a função:

Γ(x) · Γ(1-x) = π / sin(πx)

é assim que esta calculadora lida com x < 0.5 — ela calcula Γ(1-x) com a mesma aproximação de Lanczos e resolve para Γ(x). A função é indefinida em zero e em todo inteiro negativo (polos, onde sin(πx) = 0 faz o denominador desaparecer) — a calculadora rejeita essas entradas com um erro em vez de mostrar um resultado incorreto.

Exemplos de casos de uso

• Combinatória e probabilidade — a função gama fundamenta a distribuição gama, distribuição beta, e a distribuição t de Student, todas as quais precisam de Γ avaliada em argumentos não-inteiros (como graus de liberdade de meio-inteiro).
• Fórmulas combinatórias com argumentos não-inteiros — o coeficiente binomial generalizado e as aproximações do tipo Stirling se estendem naturalmente através de Γ(x) em vez de serem restritas a fatoriais de números inteiros.
• Física e engenharia — Γ(x) aparece em constantes de normalização para estatísticas de Maxwell-Boltzmann e Bose-Einstein, e em soluções para certas equações diferenciais.
• Verificação rápida de valores fatoriais — já que Γ(n) = (n-1)!, digitar x = 11 lhe dá 10! = 3628800 sem precisar de uma calculadora de fatorial separada.

Privacidade

Todos os cálculos são executados localmente em seu navegador — sua entrada nunca é enviada para um servidor.

Ferramentas relacionadas

Para a função de erro complementar intimamente relacionada, consulte a Calculadora de Função de Erro Complementar. Para estatísticas descritivas gerais, consulte a Calculadora de Estatísticas.