Calculadora de Derivada Implícita

A Calculadora de Derivada Implícita diferencia uma equação em x e y em relação a x — sem resolver para y primeiro — até a 1ª, 2ª ou 3ª ordem. Mostra cada derivada parcial usada ao longo do caminho, a derivada simbólica resultante e uma avaliação numérica opcional em um ponto (x₀, y₀).

É desenvolvida para estudantes de cálculo verificando um problema de lição de casa de diferenciação implícita, e para qualquer pessoa que necessite dy/dx (ou uma derivada de ordem superior) de uma curva como um círculo, uma elipse ou a folha de Descartes sem isolar y manualmente — o que para a maioria das equações implícitas nem é possível com funções elementares.

Como usar

1. Digite o lado esquerdo e o lado direito de sua equação em x e y — a notação matemática padrão funciona: ^ para potências, * para multiplicação, além de sqrt(), sin(), cos(), log() e outras funções suportadas pelo analisador de expressões mathjs. Por exemplo, um círculo de raio 5 é x^2 + y^2 no lado esquerdo e 25 no lado direito.
2. Escolha a ordem — 1ª derivada (dy/dx), 2ª derivada (d²y/dx²) ou 3ª derivada (d³y/dx³).
3. Opcionalmente, digite um ponto (x₀, y₀) para também obter um valor numérico — deixe ambos em branco para apenas o resultado simbólico.
4. Leia Derivada Implícita para o resultado simbólico e Derivação Passo a Passo para cada derivada parcial usada para chegar lá.

Os resultados são atualizados automaticamente conforme você digita. Por exemplo, o círculo x^2 + y^2 = 25 em (3, 4) retorna dy/dx = -(x / y) = -0.75.

Como funciona a diferenciação implícita?

Escrevendo a equação como H(x, y) = 0 (lado esquerdo menos lado direito), diferenciando H(x, y(x)) = 0 em relação a x — tratando y como uma função de x via regra da cadeia — e resolvendo para a derivada dá:

dy/dx = -Hx / Hy

onde Hx e Hy são as derivadas parciais ordinárias de H, cada uma calculada tratando a outra variável como uma constante. Isso evita resolver a equação original para y, o que para uma curva como a folha de Descartes (x³ + y³ = 9xy) nem é possível em forma fechada.

As derivadas 2ª e 3ª repetem o mesmo truque na relação resultante, substituindo o resultado de ordem inferior novamente cada vez:

d²y/dx²  = -(Hxx + 2·Hxy·y′ + Hyy·y′²) / Hy
d³y/dx³  = -(Hxxx + 3·Hxxy·y′ + 3·Hxyy·y′² + Hyyy·y′³ + 3·Hxy·y″ + 3·Hyy·y′·y″) / Hy

E se a resposta contiver x e y?

Isso é esperado — diferentemente de uma derivada explícita, uma derivada implícita é uma função de ambos x e y, já que o próprio y não está isolado. Para o exemplo do círculo acima, dy/dx = -(x / y) é apenas um número após você também fixar um ponto na curva (como (3, 4)), que é exatamente para o que servem os campos opcionais x₀/y₀.

Quais funções posso usar?

Qualquer coisa que o avaliador de expressões mathjs compreenda: polinômios (x^2*y - 2*x), funções trigonométricas (sin(x*y), cos(y)), raízes e logaritmos (sqrt(x), log(y)) e combinações dessas, usando x e y como as duas variáveis. Os ângulos em funções trigonométricas estão em radianos por padrão — escreva pi para π.

Trabalhando com uma função que já é explícita, f(x, y, z), e precisando sua derivada direcional ou gradiente? Veja a Calculadora de Derivada Direcional. Para avaliar expressões matemáticas arbitrárias diretamente, veja o Avaliador de Matemática.

Privacidade

Esta calculadora funciona inteiramente em seu navegador. Sua equação, ordem e ponto nunca são enviados, registrados ou armazenados — a computação ocorre localmente em seu dispositivo.