Calculadora de Soma de Série Infinita
Calcule a soma em forma fechada de oito séries infinitas clássicas — geométrica, série-p, telescópica, harmônica alternada, Leibniz, Basel, exponencial (e^x) e série-p alternada — com a razão exata da convergência, a fórmula usada e uma tabela de somas parciais mostrando o quão rápido (ou lentamente) a série se aproxima dessa soma.
Entrada
Saída
| n | aₙ | Sₙ (soma parcial) |
|---|---|---|
| No data yet | ||
Mais formas de usar esta ferramenta
API REST
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/infinite-series-sum-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"series": "geometric",
"a": "1",
"r": "0.5",
"n0": "1",
"numTerms": "5"
}'Troque pela sua própria chave, da sua conta. Os campos da ferramenta viram o corpo da requisição — sem envelope.
Peça a um agente de IA
Use the IOTools `infinite-series-sum-calculator` tool (Infinite Series Sum Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HERECole isto em qualquer agente conectado ao servidor MCP do IOTools e depois adicione sua entrada.
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Também disponível via
Guias
A Calculadora de Soma de Série Infinita encontra a soma exata em forma fechada de oito séries infinitas clássicas — geométrica, série-p, telescópica, harmônica alternada, Leibniz, Basel, exponencial (eˣ) e série-p alternada — juntamente com a razão exata da convergência, a fórmula usada e uma tabela de somas parciais mostrando o quão rapidamente (ou lentamente) a série realmente se aproxima dessa soma.
Como usá-la
- Escolha uma família de série no dropdown.
- Preencha os parâmetros dessa família — um primeiro termo e razão para uma série geométrica, um expoente para uma série-p, um intervalo para uma série telescópica, e assim por diante. Algumas famílias (harmônica alternada, Leibniz, Basel) não possuem parâmetros.
- Escolha quantas somas parciais exibir.
- Leia a soma exata e a fórmula, ou a derivação passo a passo completa para o raciocínio por trás do veredicto de convergência.
Por que a série-p geral e a série-p alternada não são somas parciais ingênuas
Para a maioria dos expoentes p, Σ 1/nᵖ e Σ (-1)ⁿ⁻¹/nᵖ não possuem uma forma elementar fechada — sua verdadeira "forma fechada" é a função zeta de Riemann ζ(p) e a função eta de Dirichlet η(p). Uma calculadora que apenas soma milhares de termos brutos converge muito lentamente para p perto de 1 (a série harmônica alternada precisa de bilhões de termos para precisão de um dígito) e é simplesmente incorreta para uma série-p divergente. Esta ferramenta, em vez disso:
- Avalia ζ(p) com a fórmula de soma de Euler-Maclaurin — a mesma técnica usada por mpmath e PARI/GP — precisa de aproximadamente 14 dígitos significativos para qualquer p > 1, com valores exatos conhecidos (π²/6, π⁴/90, π⁶/945, π⁸/9450, π¹⁰/93555) mostrados diretamente para expoentes inteiros pares.
- Avalia η(p) aplicando a transformação de Euler à série alternada, que acelera a convergência de milhares de termos brutos para cerca de 30 — precisa de aproximadamente 10 dígitos significativos para qualquer p > 0.
As oito séries
- Geométrica — Σ a·rⁿ. Converge se e somente se |r| < 1, somando a a·rⁿ⁰/(1 − r).
- Série-p — Σ 1/nᵖ. Converge se e somente se p > 1, somando a ζ(p) (a função zeta de Riemann).
- Telescópica — Σ 1/(n(n + k)). Sempre converge, pois 1/(n(n+k)) = (1/k)[1/n − 1/(n+k)] cancela todos os termos interiores.
- Harmônica alternada — Σ (-1)ⁿ⁻¹/n. Soma a ln 2.
- Leibniz — Σ (-1)ⁿ/(2n + 1). Soma a π/4 — uma das séries de convergência mais lenta em uso comum (arctan(1)).
- Problema de Basel — Σ 1/n². Soma a π²/6, o famoso resultado de Euler de 1734.
- Exponencial — Σ xⁿ/n!. Converge para todo x real, somando a eˣ.
- Série-p alternada — Σ (-1)ⁿ⁻¹/nᵖ. Converge (condicionalmente, para 0 < p ≤ 1) se e somente se p > 0, somando a η(p) (a função eta de Dirichlet; η(1) = ln 2 exatamente).
Para ir na direção oposta — expanda uma função em uma série de potências em vez de somar uma — veja a Calculadora de Série de Taylor, ou verifique se uma série que você já tem converge com a Calculadora de Teste de Convergência de Série.
Privacidade
Esta calculadora funciona inteiramente no seu navegador. Sua família de série escolhida e parâmetros nunca são carregados, registrados ou armazenados.