Calculadora de Matriz Jacobiana

A Calculadora de Matriz Jacobiana constrói a matriz Jacobiana — a matriz completa de derivadas parciais de primeira ordem — para uma função com valores vetoriais F = (f₁, f₂, …) com respeito às variáveis (x₁, x₂, …). Ela mostra a Jacobiana simbólica, o determinante simbólico quando a matriz é quadrada, um veredicto de invertibilidade, uma avaliação numérica em qualquer ponto que você escolher e uma derivação completa passo a passo de cada entrada.

É construída para estudantes de cálculo multivariável e álgebra linear verificando uma resposta de lição de casa, e para qualquer pessoa que precise de uma Jacobiana sem diferenciar uma grade inteira de derivadas parciais à mão.

Como usá-la

1. Insira suas funções f₁, f₂, … — uma por linha, ou separadas por ponto e vírgula — usando notação matemática padrão: ^ para potências, * para multiplicação, além de sqrt(), sin(), cos(), log() e outras funções suportadas pelo analisador de expressões mathjs. Até 4 funções.
2. Liste as variáveis em relação às quais diferenciar, separadas por vírgula, letras únicas (por exemplo x, y, z). Até 4 variáveis.
3. Opcionalmente, insira um ponto para avaliar a Jacobiana numericamente — um valor por variável, separados por vírgula. Deixe em branco para ver apenas a Jacobiana simbólica.
4. Leia Matriz Jacobiana J para a matriz de derivadas parciais (linha i, coluna j é ∂fᵢ/∂xⱼ), Forma para suas dimensões e Determinante |J| para o determinante simbólico quando a matriz é quadrada.
5. Avaliado no Ponto mostra a Jacobiana numérica, o valor do determinante e se a matriz é invertível lá. Derivação Passo a Passo mostra cada derivada parcial calculada ao longo do caminho.

Os resultados são atualizados automaticamente conforme você digita. Por exemplo, F = (x^2*y, x + z) com variáveis x, y, z fornece uma Jacobiana 2×3 [[2xy, x², 0], [1, 0, 1]] — não quadrada, portanto sem determinante — enquanto F = (xy, x + y) com variáveis x, y fornece a Jacobiana quadrada [[y, x], [1, 1]], determinante y − x, invertível em todos os lugares exceto ao longo da linha y = x.

O que é uma matriz Jacobiana?

Para uma função com valores vetoriais F(x₁, …, xₙ) = (f₁, …, fₘ), a Jacobiana é a matriz m×n:

J[i][j] = ∂fᵢ/∂xⱼ

Cada linha é o gradiente de uma função; cada coluna é como cada função responde a uma variável. É a generalização multivariável de uma única derivada, e é assim que parece uma aproximação de primeira ordem (linear) de F perto de um ponto.

Por que a invertibilidade importa?

Quando a Jacobiana é quadrada (tantas funções quanto variáveis) e seu determinante é diferente de zero em um ponto, o teorema da função inversa garante que F é localmente invertível lá — uma pequena mudança na saída pode ser rastreada de volta a uma pequena mudança única na entrada. Esta calculadora verifica essa condição automaticamente: se o determinante é identicamente 0, a matriz é singular em todos os lugares (F nunca é localmente invertível); caso contrário, é invertível em qualquer ponto onde o determinante não aconteça de desaparecer.

Que funções posso inserir?

Qualquer coisa que o avaliador de expressões mathjs entenda: polinômios (x^2*y - 2*z), funções trigonométricas (sin(x*z), cos(y)), raízes e logaritmos (sqrt(x), log(y)) e combinações desses. Os ângulos em funções trigonométricas estão em radianos por padrão — escreva pi para π. Um símbolo que você lista como uma função mas não como uma variável (ou vice-versa) é tratado como uma constante durante a diferenciação.

Para diferenciar uma única função em relação a uma variável de cada vez, consulte a Calculadora de Derivada Parcial; para operações de matriz numérica 2×2/3×3 (determinante, inversa, multiplicação), consulte a Calculadora de Matrizes.

Privacidade

Esta calculadora é executada inteiramente no seu navegador. Suas funções, variáveis e ponto nunca são carregados, registrados ou armazenados — a computação acontece localmente no seu dispositivo.