Calculadora de Integral de Linha

A Calculadora de Integral de Linha avalia numericamente uma integral de linha ao longo de uma curva paramétrica C: r(t) = (x(t), y(t)[, z(t)]), t ∈ [t0, t1] — seja uma integral de campo escalar ∫_C f ds (com respeito ao comprimento do arco) ou uma integral de campo vetorial ∫_C F · dr (com respeito ao deslocamento ao longo da curva). Junto com o resultado numérico, relata o comprimento do arco da curva no mesmo intervalo e, para campos vetoriais, uma verificação de campo conservativo baseada no rotacional de F.

Construído para alunos de cálculo vetorial verificando uma resposta de tarefa de casa, e para quem precisa de uma integral de linha numérica rápida sem configurar a substituição à mão.

Como usar

1. Escolha o Tipo de integral: campo escalar (∫ f ds) ou campo vetorial (∫ F · dr).
2. Escolha a Dimensão da curva: 2D ou 3D.
3. Digite a parametrização da curva: x(t), y(t), e (em 3D) z(t) — notação matemática padrão funciona: ^ para potências, * para multiplicação, mais sqrt(), sin(), cos(), log(), e as outras funções suportadas pelo analisador de expressões mathjs.
4. Digite os limites inferior de t (t0) e superior de t (t1) — estes também aceitam expressões constantes, como 2*pi, não apenas números simples.
5. Para um campo escalar, digite f(x, y[, z]). Para um campo vetorial, digite seus componentes P(x, y[, z]), Q(x, y[, z]), e (em 3D) R(x, y, z).
6. Leia o resultado da integral (∫_C f ds ou ∫_C F · dr), Comprimento do Arco, e — para campos vetoriais — Campo Conservativo?. Os Detalhes Passo a Passo mostram dx/dt, dy/dt (e dz/dt em 3D), a configuração da integral e o cálculo do rotacional.

Os resultados são atualizados automaticamente conforme você digita. Por exemplo, o campo vetorial F = (-y, x) ao redor do círculo unitário (cos(t), sin(t)), t ∈ [0, 2π], retorna uma integral de linha de 6.28319 e é sinalizado como não conservativo.

Como a integral é calculada?

dx/dt, dy/dt e dz/dt são encontrados simbolicamente diferenciando x(t), y(t) e z(t). A curva, sua derivada e o campo são então avaliados em 1001 pontos espaçados uniformemente em [t0, t1] e combinados com a regra de Simpson composta — para um campo escalar, integrando f(r(t)) · |r′(t)| dt; para um campo vetorial, integrando [P dx/dt + Q dy/dt (+ R dz/dt)] dt. A mesma grade e regra calculam o comprimento do arco, ∫ |r′(t)| dt.

O que é a verificação de campo conservativo?

Para um campo vetorial F = (P, Q[, R]), a calculadora calcula o rotacional de F simbolicamente (∂Q/∂x − ∂P/∂y em 2D; o vetor rotacional completo em 3D) e verifica se simplifica identicamente para zero. Se o fizer, F parece conservativo — a integral de linha entre dois pontos não depende do caminho percorrido entre eles, apenas dos pontos finais. Este teste de derivada parcial é uma condição necessária mas não suficiente em um domínio com um furo ou singularidade (por exemplo, a origem removida do plano), portanto trate um veredito "conservativo" como evidência forte, não como garantia absoluta, em tais domínios.

Quais funções posso inserir?

Qualquer coisa que o avaliador de expressões mathjs entenda: polinômios, funções trigonométricas (sin, cos, tan), raízes e logaritmos (sqrt(), log()), e combinações destas. Use t como o parâmetro da curva e x, y, z como as variáveis do campo. Os ângulos estão em radianos por padrão — escreva pi para π.

Para encontrar o rotacional de um campo vetorial 3D em um único ponto diretamente, consulte a Calculadora de Rotacional; para uma integral dupla sobre uma região retangular em vez de ao longo de uma curva, consulte a Calculadora de Integral Dupla.

Privacidade

Esta calculadora funciona inteiramente em seu navegador. Sua curva, campo e limites nunca são enviados, registrados ou armazenados — o cálculo acontece localmente em seu dispositivo.