Calculadora de Decomposição em Frações Parciais

A decomposição em frações parciais quebra uma expressão racional P(x)/Q(x) em frações mais simples que se combinariam para produzi-la — o inverso de adicionar frações com um denominador comum. É o primeiro passo padrão antes de integrar uma função racional, e a aritmética fica tediosa rapidamente quando o denominador tem um fator repetido ou quadrático. Esta calculadora executa o método completo exatamente — cada coeficiente é uma fração exata, nunca um decimal arredondado — e mostra o sistema linear que foi resolvido para chegar lá.

Como usar

1. Digite o numerador P(x) como um polinômio em x, ex. 3x + 5 ou x^2 - 4.
2. Digite o denominador Q(x) em forma fatorada — um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, cada um entre parênteses com uma potência opcional ^, ex. (x - 1)(x + 2)^2 ou (x - 1)(x^2 + 1).
3. Leia a decomposição, a parte polinomial (se a fração fosse imprópria), a tabela termo por termo e a derivação completa.

Por que o denominador deve estar já fatorado

Fatorar um polinômio arbitrário exatamente não tem solução geral de forma fechada além do grau 4, e mesmo decidir se um fator perfeitamente sobre os racionais é um problema difícil por si só — uma calculadora que silenciosamente adivinhasse uma fatoração "próxima o suficiente" devolveria uma resposta errada com total confiança, o que é pior do que fazer uma pergunta a mais. Fornecer Q(x) já fatorado mantém cada passo exato: sem busca de raízes, sem ponto flutuante, nunca. Se um fator quadrático que você digita se mostra realmente redutível sobre os racionais (seu discriminante é um quadrado perfeito), a calculadora reescreve como dois fatores lineares automaticamente antes de decompor.

O método

1. Fração imprópria? Se deg(P) ≥ deg(Q), divida primeiro (divisão polinomial longa ordinária) para obter uma parte polinomial mais um resto próprio, depois decomponha o resto.
2. Construa o ansatz. Cada fator linear (x − r) com potência n contribui A₁/(x−r) + A₂/(x−r)² + … + Aₙ/(x−r)ⁿ; cada fator quadrático irredutível com potência n contribui (B₁x + C₁)/(quad) + … + (Bₙx + Cₙ)/(quad)ⁿ.
3. Iguale os coeficientes. Multiplique ambos os lados por Q(x) e compare o coeficiente de cada potência de x — isso produz um sistema quadrado de equações lineares nos numeradores desconhecidos, resolvido pela eliminação Gauss-Jordan exata sobre frações de números racionais (BigInt).
4. Para o caso mais simples — cada fator do denominador linear e distinto, sem repetições — a derivação também mostra o atalho de cobertura (Heaviside) como uma verificação cruzada independente: cubra cada (x − r) e avalie todo o resto em x = r.

FAQ

Por que um fator quadrático precisa de (Ax + B) em cima em vez de apenas A?

Uma única constante sobre um quadrático irredutível não pode reproduzir todos os possíveis numeradores daquele grau — o numerador deve ter permissão para ter seu próprio termo x, ou o sistema de equações não tem solução para um P(x) genérico.

E se o fator do meu denominador não se encaixar no grau 1 ou 2?

Fatore mais. Qualquer polinômio real fatoriza em peças lineares e quadráticas irredutíveis, então um fator cúbico ou de grau mais alto que você tem não está em sua forma fatorada final — fatore o resto (manualmente, ou com um Resolvedor de Equação Cúbica) antes de digitá-lo aqui.

Meu fator não é mônico (ex. (2x - 4)) — isso importa?

Não — digite exatamente como você tem. A calculadora extrai o coeficiente líder internamente e o dobra no numerador, então (2x - 4) e (x - 2) decompõem para os mesmos termos de fração subjacentes.

Ferramentas relacionadas

Para expandir um polinômio fatorado de volta para a forma padrão — a direção oposta do segundo passo desta ferramenta — veja a Calculadora de Expansão de Polinômios. Para dividir um numerador impróprio pelo denominador manualmente em vez de automaticamente, veja a Calculadora de Divisão Polinomial Longa.

Privacidade

Todos os cálculos são executados inteiramente no seu navegador — o numerador e denominador que você digita nunca são enviados para um servidor.