Calculadora de Fatoração de Polinômios
Fatore um polinômio inteiro sobre os racionais: conteúdo (MDC), toda raiz racional com multiplicidade, os fatores lineares que produzem, e o que sobrar sem raízes racionais.
Entrada
Coeficientes inteiros separados por vírgula ou espaço, do termo de maior grau até o termo constante (até grau 10). Decimais e frações não são suportados — apenas coeficientes inteiros.
Saída
| Raiz | Multiplicidade | Fator linear |
|---|---|---|
| No data yet | ||
Mais formas de usar esta ferramenta
API REST
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/polynomial-factoring-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"coefficients": "1, 0, -3, 2"
}'Troque pela sua própria chave, da sua conta. Os campos da ferramenta viram o corpo da requisição — sem envelope.
Peça a um agente de IA
Use the IOTools `polynomial-factoring-calculator` tool (Polynomial Factoring Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HERECole isto em qualquer agente conectado ao servidor MCP do IOTools e depois adicione sua entrada.
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| Custo por chamada de API/MCP | A partir de 5 créditos |
|---|
Também disponível via
Guias
Fatorar um polinômio manualmente significa adivinhar raízes candidatas, verificar cada uma com divisão sintética, e repetir sobre o que sobrar — fácil perder o controle depois que uma raiz se repete ou o termo constante tem uma dúzia de divisores. Esta calculadora executa a busca completa para você: extrai o conteúdo, encontra toda raiz racional com sua multiplicidade, e diz claramente se há algo sobrando que não fatora sobre os racionais.
Como usar
- Digite os coeficientes do polinômio, começando pelo grau mais alto — para x³ − 3x + 2, digite
1, 0, -3, 2(o termo x² ausente é zero, e importa: não pule). - Leia o conteúdo, a forma fatorada, a tabela raiz/multiplicidade, e se o polinômio fatora completamente.
Apenas coeficientes inteiros são suportados — decimais e frações não são, pois o método (o teorema da raiz racional) é definido em coeficientes inteiros.
O método
- Conteúdo: divida pelo MDC de cada coeficiente, deixando um polinômio primitivo (conteúdo 1).
- Teorema da raiz racional: para um polinômio primitivo com termo constante a₀ e coeficiente líder aₙ, toda raiz racional é p⁄q em termos mais baixos, onde p divide a₀ e q divide aₙ. Cada candidato é testado com divisão sintética exata de inteiros para (qx − p).
- Sempre que uma raiz é confirmada, ela é dividida repetidamente (para capturar multiplicidade), e a busca recomeça do polinômio menor que sobra — novos candidatos incluídos, pois desinflar pode expor raízes não visíveis nos divisores dos coeficientes originais.
- Uma vez que nenhuma raiz candidata se divide uniformemente, o que sobra é relatado como está: ±1 (o polinômio fatorou completamente) ou uma peça de grau mais alto sem raízes racionais.
FAQ
O que significa "sem raízes racionais" para a peça restante?
Significa que a busca não encontrou mais candidatos p⁄q que se dividem uniformemente no polinômio — não é uma prova formal de que a peça não pode ser fatorada. Um quadrático como x² + 1 não tem raízes reais, e algo como x² − 2 tem raízes reais irracionais (±√2); ambos voltam como resto não fatorado aqui, pois nenhum tem raiz racional.
Por que a forma fatorada às vezes começa com um número simples?
Esse é o conteúdo — o MDC extraído de cada coeficiente antes de procurar raízes. 2x³ − 4x² − 2x + 4 fatora como 2(x - 1)(x - 2)(x + 1), não (2x - 2)(x - 2)(x + 1), pois 2 divide cada termo na frente.
Como a multiplicidade é mostrada?
Cada raiz racional distinta recebe uma linha na tabela com sua multiplicidade — uma raiz dupla mostra multiplicidade 2, e seu fator na forma fatorada traz um ^2 correspondente.
Ferramentas relacionadas
Para dividir um polinômio por um x − a específico e verificar o resto diretamente, veja a Calculadora de Divisão Sintética. Para multiplicar fatores de volta à forma padrão, veja a Calculadora de Expansão de Polinômios. Para um quadrático especificamente, a Calculadora de Fórmula Quadrática também lida com raízes irracionais e complexas que a busca apenas racional desta ferramenta não encontrará.
Privacidade
Todos os cálculos são executados inteiramente em seu navegador — os coeficientes que você digita nunca são enviados para um servidor.