Calculadora de Raízes Polinomiais
Encontre toda raiz real e complexa de um polinômio de grau 1 a 12. Digite os coeficientes do termo de maior grau em diante, e obtenha fórmulas exatas para grau ≤ 2 ou iteração Durand–Kerner para graus superiores.
Entrada
Coeficientes separados por vírgula ou espaço, do termo de maior grau até o termo constante (grau 1 a 12). Decimais são suportados.
Saída
| Raiz | Parte real | Parte imaginária |
|---|---|---|
| No data yet | ||
Mais formas de usar esta ferramenta
API REST
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/polynomial-roots-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"coefficients": "1, -5"
}'Troque pela sua própria chave, da sua conta. Os campos da ferramenta viram o corpo da requisição — sem envelope.
Peça a um agente de IA
Use the IOTools `polynomial-roots-calculator` tool (Polynomial Roots Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HERECole isto em qualquer agente conectado ao servidor MCP do IOTools e depois adicione sua entrada.
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| Custo por chamada de API/MCP | A partir de 5 créditos |
|---|
Também disponível via
Guias
Encontrar todas as raízes de um polinômio à mão só funciona bem até grau 2 — além disso não existe fórmula algébrica geral, e procurar raízes reais ou complexas por substituição de tentativa fica rapidamente pouco confiável. Esta calculadora resolve todas elas de uma vez: reais, irracionais e complexas, para qualquer polinômio de grau 1 a 12.
Como usar
- Digite os coeficientes do polinômio, maior grau primeiro — para x³ − 6x² + 11x − 6, digite
1, -6, 11, -6(um termo ausente é zero, e isso importa: não pule). - Leia a equação analisada (para confirmar que corresponde ao que você quis dizer), a tabela completa de raízes e qual método a resolveu.
Decimais são suportados — os coeficientes não precisam ser números inteiros.
O método
- Grau 1: resolvido diretamente, x = −b⁄a.
- Grau 2: a fórmula quadrática, x = (−b ± √(b² − 4ac)) ⁄ 2a — um discriminante positivo fornece duas raízes reais, zero fornece uma raiz real repetida, e um discriminante negativo fornece um par conjugado complexo.
- Grau 3–12: iteração Durand–Kerner, um método numérico que refina todas as n raízes simultaneamente em cada passagem — r ← r − f(r) ⁄ Π(r − rⱼ) em cada outra estimativa de raiz atual — começando a partir de pontos espalhados em torno de um círculo dimensionado para delimitar cada raiz (limite de Cauchy). Converge para o conjunto completo de raízes reais e complexas juntas, é por isso que é a abordagem padrão quando não existe fórmula em forma fechada.
Um pequeno resíduo de ponto flutuante (muito abaixo de qualquer dígito exibido) é arredondado para exatamente 0, então uma raiz que é realmente real não exibe uma parte imaginária isolada como 1e-14i.
FAQ
Por que um cúbico às vezes mostra uma raiz real e um par complexo, e outras vezes três raízes reais?
Isso é determinado pelo próprio polinômio, não pelo método — um cúbico real sempre tem pelo menos uma raiz real, e duas raízes reais adicionais ou um par conjugado complexo. A calculadora encontra o que quer que os coeficientes realmente produzam.
Quão precisas são as raízes?
Durand–Kerner itera até que as raízes param de se mover mais do que 1e-13, então os resultados são exibidos com 6 algarismos significativos — precisão suficiente para qualquer uso prático, embora seja uma aproximação numérica em vez de uma forma exata fechada para grau 3 e acima.
Qual é o maior polinômio que isso resolve?
Grau 12 (13 coeficientes). Além disso, a busca de raízes se torna numericamente instável para uma calculadora de propósito geral — os coeficientes de um polinômio de alto grau podem ser extremamente sensíveis às posições exatas de suas raízes.
Ferramentas relacionadas
Para uma busca de raízes racionais apenas em polinômios com coeficientes inteiros — com frações exatas e a forma fatorada escrita — veja a Calculadora de Fatoração Polinomial. Para um quadrado especificamente, com uma derivação completa passo a passo, veja a Calculadora de Fórmula Quadrática. Para dividir um polinômio por uma raiz conhecida e verificar o resto, veja a Calculadora de Divisão Sintética.
Privacidade
Todos os cálculos funcionam inteiramente no seu navegador — os coeficientes que você digita nunca são enviados para um servidor.