Calculadora de Teste de Convergência de Séries
Determine se uma série infinita **converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge** — para uma série-p, série geométrica, série alternada e três outras famílias de séries padrão. Mostra os limites exatos do teste de razão e raiz, o teste de divergência (teste do termo n-ésimo), qual regra decidiu o resultado e as somas parciais em execução.
Entrada
Saída
| n | aₙ | Sₙ (soma parcial) |
|---|---|---|
| No data yet | ||
Mais formas de usar esta ferramenta
API REST
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/series-convergence-test-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"series": "p_series",
"p": "2",
"n0": "1",
"numTerms": "5"
}'Troque pela sua própria chave, da sua conta. Os campos da ferramenta viram o corpo da requisição — sem envelope.
Peça a um agente de IA
Use the IOTools `series-convergence-test-calculator` tool (Series Convergence Test Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HERECole isto em qualquer agente conectado ao servidor MCP do IOTools e depois adicione sua entrada.
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Guias
A Calculadora de Teste de Convergência de Séries informa se uma série infinita converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge — para uma série-p, série geométrica, série alternada e três outras famílias de séries padrão. Mostra os limites exatos do teste de razão e raiz, o teste de divergência (teste do termo n-ésimo), qual regra realmente decidiu o resultado e as somas parciais em execução.
Como usar
- Escolha uma família de séries — série-p, geométrica, série-p alternada, polinômio × geométrica, exponencial sobre fatorial ou uma série racional alternada.
- Preencha os parâmetros dessa família — um expoente, uma razão ou uma base — e um índice inicial n₀.
- Escolha quantas somas parciais mostrar.
- Leia o Resultado e a Regra decisiva para a resposta e o teorema exato por trás disso, ou a Derivação passo a passo para uma visão completa.
Por que não apenas amostrar o teste de razão em um n grande?
A maioria dos calculadores de convergência aproxima os testes de razão e raiz avaliando a série em um n grande e esperando que a tendência tenha se estabilizado. Isso falha na questão de convergência mais comum: para uma série-p (Σ 1/nᵖ), o limite do teste de razão e o limite do teste de raiz são ambos exatamente 1 para todo valor de p — então nenhuma quantidade de amostragem numérica pode diferenciar uma série p = 2 convergente de uma série p = 1 (harmônica) divergente. Esta calculadora classifica cada família com seu critério exato de forma fechada — o teste de série-p, o teste de série geométrica, o Teste de Série Alternada ou comparação de limites — e relata o limite exato do teste de razão/raiz (0, |r| ou 1), não uma aproximação de ponto flutuante.
As seis famílias de séries
- Série-p — Σ 1/nᵖ. Converge (absolutamente) se e somente se p > 1; diverge caso contrário. Esta é a série harmônica em p = 1.
- Série geométrica — Σ rⁿ. Converge (absolutamente) se e somente se |r| < 1.
- Série-p alternada — Σ (-1)ⁿ/nᵖ. Converge absolutamente para p > 1, converge condicionalmente para 0 < p ≤ 1 (pelo Teste de Série Alternada, mesmo que o teste de série-p diga que Σ 1/nᵖ em si diverge lá), e diverge para p ≤ 0.
- Polinômio × geométrica — Σ nᵃ·rⁿ. O teste de razão sozinho decide sempre que |r| ≠ 1 (o fator geométrico sempre vence o fator polinomial); em |r| = 1 reduz para uma série-p simples ou alternada em nᵃ.
- Exponencial sobre fatorial — Σ bⁿ/n!. Converge absolutamente para todo b real, porque n! eventualmente cresce mais que qualquer exponencial fixo bⁿ — o limite do teste de razão é sempre 0. (Esta série soma para eᵇ.)
- Racional alternada — Σ (-1)ⁿ·n/(n²+a). Converge condicionalmente para todo a ≥ 0: os termos diminuem para 0, mas a série sem sinal diverge como a série harmônica pela comparação de limites.
O que "absoluto," "condicional" e "divergente" significam
- Converge absolutamente — Σ |aₙ| também converge. A série converge independentemente da ordem em que seus termos são somados.
- Converge condicionalmente — Σ aₙ converge, mas Σ |aₙ| não. Reordenar os termos de uma série condicionalmente convergente pode mudar sua soma (ou fazê-la divergir) — o teorema das séries de Riemann.
- Diverge — as somas parciais não se estabelecem em um valor finito.
Privacidade
Esta calculadora roda inteiramente em seu navegador. Sua família de série escolhida, parâmetros e índice inicial nunca são carregados, registrados ou armazenados.