Calculadora de Série de Taylor
Expanda uma função f(x) em seu polinômio de Taylor (ou Maclaurin) sobre qualquer centro a, até um grau de sua escolha, com cada derivada usada para construir cada coeficiente e uma avaliação opcional em um ponto contra o valor da função real.
Entrada
a = 0 fornece a série de Maclaurin.
Opcional — compara a aproximação polinomial com o f(x₀) real. Deixe em branco para apenas o resultado simbólico.
Saída
Mais formas de usar esta ferramenta
API REST
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/taylor-series-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"f": "sin(x)",
"a": "0",
"n": "5",
"x0": "1"
}'Troque pela sua própria chave, da sua conta. Os campos da ferramenta viram o corpo da requisição — sem envelope.
Peça a um agente de IA
Use the IOTools `taylor-series-calculator` tool (Taylor Series Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HERECole isto em qualquer agente conectado ao servidor MCP do IOTools e depois adicione sua entrada.
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Guias
A Calculadora de Série de Taylor expande uma função f(x) em seu polinômio de Taylor sobre qualquer centro a, até um grau de sua escolha (1º ao 10º). Ela mostra cada derivada usada para construir cada coeficiente, o polinômio resultante e — se você fornecer um ponto x₀ — como o polinômio se aproxima bem do f(x₀) real.
É construída para alunos de cálculo verificando um problema de lição de casa de série de Taylor ou Maclaurin, e para quem deseja ver por que uma aproximação de série funciona: cada termo vem diretamente de uma derivada avaliada no centro, dividida por um fatorial, sem nada escondido.
Como usar
- Digite sua função f(x) — a notação matemática padrão funciona:
^para potências,*para multiplicação, além desqrt(),sin(),cos(),exp(),log()e outras funções suportadas pelo analisador de expressões mathjs. - Digite o centro a — deixe em
0para a série de Maclaurin (uma série de Taylor centrada na origem). - Escolha o grau — quantos termos da expansão calcular.
- Opcionalmente, digite um ponto x₀ para comparar a aproximação do polinômio com o valor real de f lá.
- Leia o Polinômio de Taylor para a expansão e a Derivação Passo a Passo para cada derivada e coeficiente que a construiu.
Os resultados são atualizados automaticamente conforme você digita. Por exemplo, f = sin(x) sobre a = 0 até o grau 5 fornece P(x) = x - 0.166667x³ + 0.00833333x⁵ — que em x = 1 se aproxima de 0.841667, contra o valor real de sin(1) 0.841471.
Como cada coeficiente é calculado?
O polinômio de Taylor de grau-n de f(x) sobre um centro a é:
P(x) = f(a) + f′(a)(x - a) + f″(a)/2!·(x - a)² + ... + f⁽ⁿ⁾(a)/n!·(x - a)ⁿCada coeficiente é a derivada k-ésima de f, avaliada no centro a, dividida por k!. Esta calculadora diferencia f simbolicamente k vezes seguidas — cada derivada calculada a partir da anterior — avalia cada resultado em a e divide pelo fatorial em execução, portanto cada coeficiente na saída pode ser rastreado até uma derivada explícita que você pode verificar manualmente.
Por que a aproximação não coincide exatamente?
Um polinômio de Taylor é exato apenas no centro em si (x = a); em qualquer outro lugar é uma aproximação cuja precisão melhora à medida que o grau aumenta e piora quanto mais afastado x₀ está de a. O valor |Erro| é exatamente essa lacuna — |f(x₀) real − P(x₀)| — portanto você pode ver o compromisso diretamente: aumente o controle deslizante de grau para um ajuste mais próximo ou mova x₀ mais próximo de a.
Que funções posso digitar?
Qualquer coisa que o avaliador de expressões mathjs compreenda e possa diferenciar: polinômios (x^3 - 2*x), funções trigonométricas (sin(x), cos(x), tan(x)), exponenciais e logaritmos (exp(x), log(x)), raízes (sqrt(x)), e combinações dessas, usando x como a variável. Os ângulos nas funções trigonométricas estão em radianos por padrão — escreva pi para π.
Precisa da derivada de uma função implícita em vez da série de uma explícita? Veja a Calculadora de Derivada Implícita. Para o gradiente de uma função multivariável ou derivada direcional, veja a Calculadora de Derivada Direcional.
Privacidade
Esta calculadora funciona inteiramente em seu navegador. Sua função, centro, grau e ponto nunca são carregados, registrados ou armazenados — a computação acontece localmente em seu dispositivo.