Калькулятор разложения бинома

Калькулятор разложения бинома разложит (a + b)ⁿ для любого целого показателя степени до 50, перечисляя каждый член разложения вместе с его биномиальным коэффициентом, вычисленным числовым коэффициентом и алгебраической формой. Введите член a, член b и показатель степени n, чтобы получить полное разложение, таблицу поэлементного анализа и две текущие суммы.

Он предназначен для студентов алгебры и комбинаторики, проверяющих разложения бинома вручную, учителей, готовящих решенные примеры, и всех, кому нужно точное разложение с показателем степени, слишком большим для разложения повторяющимся умножением.

Как его использовать

1. Введите член a — целый коэффициент плюс опциональная переменная из одной буквы, напр. 2x, -y или 3.
2. Введите член b в том же формате.
3. Установите показатель степени (n) с помощью ползунка, от 0 до 50.
4. Прочитайте Выражение и Полное разложение, просмотрите таблицу Члены для биномиального коэффициента и значения каждого члена и проверьте две суммы коэффициентов.

Результаты обновляются автоматически при вводе. Например, a = 2x, b = 3, n = 4 разворачивается в 16x^4 + 96x^3 + 216x^2 + 216x + 81.

Бином Ньютона

Для целого числа n (a + b)ⁿ разворачивается как:

(a + b)^n = Σ (k = 0 to n) C(n,k) · a^(n−k) · b^k

Каждый C(n,k) — читается как "n выбрать k" — это биномиальный коэффициент из строки n треугольника Паскаля: C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!). Калькулятор строит треугольник Паскаля до строки n, затем умножает каждый коэффициент на a^(n−k) · b^k, чтобы получить окончательный числовой коэффициент каждого члена.

Почему точная арифметика важна при n = 50

Коэффициент, такой как 9, возведенный в 50-ю степень, имеет 48 цифр — намного больше того, что обычные числа с плавающей точкой могут представить точно (они теряют точность после примерно 15–17 значащих цифр). Каждый шаг здесь — треугольник Паскаля, коэффициент каждого члена и обе текущие суммы — вычисляется с использованием арифметики целых чисел произвольной точности, поэтому результаты остаются точными независимо от того, насколько большими являются коэффициенты или показатель степени.

Две суммы коэффициентов

• Сумма биномиальных коэффициентов — это C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n), которая всегда равна 2ⁿ — независимо от того, какие на самом деле a и b.
• Сумма всех коэффициентов — это сумма вычисленного числового коэффициента каждого члена (биномиальный коэффициент, умноженный на степени собственных коэффициентов a и b). Установка переменных равными 1 показывает почему: это всегда равно (a + b)ⁿ, вычисленному только с числовыми коэффициентами — для 2x + 3 это (2 + 3)^4 = 625, совпадающее с 16 + 96 + 216 + 216 + 81.

Объединение подобных переменных

Если оба члена используют одну и ту же букву переменной (напр. x и x), калькулятор объединяет их показатели степени в одну степень вместо того, чтобы показывать их рядом — поэтому (x + x)^2 читается как 4x^2, а не 4x^1x^1. Различные буквы переменных (напр. x и y) остаются отдельными, создавая смешанные члены, такие как x^3y.

Конфиденциальность

Этот калькулятор работает полностью в вашем браузере. Ваши члены и показатель степени никогда не загружаются, не записываются и не сохраняются — вычисление происходит локально на вашем устройстве.

Связанные инструменты

Для связанного двучленного уравнения, решаемого другим алгебраическим методом, см. Калькулятор завершения квадрата.