Калькулятор функции ошибок

Что делает этот калькулятор?

Введите действительное число x, и этот инструмент вычислит два тесно связанных значения: erf(x), функцию ошибок, и erfc(x), дополнительную функцию ошибок, где erfc(x) = 1 − erf(x). Обе вычисляются с использованием рациональной аппроксимации Абрамовица и Стегуна, точной примерно до 7-8 значащих цифр.

Как это использовать

1. Введите значение для x (от -6 до 6 — за пределами этого диапазона erfc(x) численно неотличима от 0 или 2 при двойной точности, поэтому результат становится бессмысленным).
2. Прочитайте erf(x) и erfc(x) из таблицы результатов.

Математика

Функция ошибок определяется интегралом:

erf(x) = (2/√π) · ∫₀ˣ e^(−t²) dt

Она не имеет замкнутой формы в терминах элементарных функций, поэтому вычисляется с использованием численной аппроксимации — в данном случае рациональной аппроксимации Абрамовица и Стегуна 7.1.26 с максимальной погрешностью около 1,5×10⁻⁷ на всей числовой прямой. Дополнительная функция ошибок просто:

erfc(x) = 1 − erf(x)

Обе функции нечётны/симметричны относительно erf: erf(−x) = −erf(x) и erfc(−x) = 2 − erfc(x). При x = 0, erf(0) = 0 и erfc(0) = 1. По мере роста x, erf(x) приближается к 1 (а erfc(x) приближается к 0) очень быстро — при x = 3, erfc(x) уже ниже 0,0001.

Связь с нормальным распределением

erf и erfc напрямую связаны с функцией кумулятивного распределения (CDF) стандартного нормального распределения Φ(z):

Φ(z) = ½ · erfc(−z / √2) = ½ · (1 + erf(z / √2))

Поэтому, если у вас уже есть значение из этого калькулятора, вы можете получить из него стандартное нормальное распределение вероятности без отдельной таблицы z — полезно при решении задач статистики, сформулированных в терминах erf вместо Φ.

Примеры применения

• Теория вероятностей и статистика — вычисление хвостовых вероятностей нормально распределённой переменной, решение задач из учебников, в которых результаты выражены через erf/erfc, а не Φ.
• Теплопередача и диффузия — erfc(x) появляется непосредственно в классическом решении для нестационарной теплопроводности в полубесконечное тело, и в решениях второго закона Фика для диффузии в полубесконечную среду (напр. цементация, профили легирования).
• Цифровая обработка сигналов — формулы вероятности ошибок в бите для каналов цифровой связи (напр. BPSK в канале с белым гауссовским шумом) обычно выражаются через Q(x), что само по себе равно ½ · erfc(x/√2).

Конфиденциальность

Все расчёты выполняются локально в вашем браузере — ваши данные никогда не отправляются на сервер.

Связанные инструменты

Для общей описательной статистики — среднее, стандартное отклонение, дисперсия — см. Калькулятор статистики. Для проверки гипотез, построенной на той же математике CDF нормального распределения, см. Калькулятор значимости теста A/B.