Калькулятор Выделения Полного Квадрата

Калькулятор Выделения Полного Квадрата преобразует любое уравнение вида ax² + bx + c = 0 в вершинную форму a(x − h)² + k, и решает x, выделяя полный квадрат вместо прямого применения формулы корней квадратного уравнения. Введите три коэффициента — a, b и c — и он вернёт вершинную форму, координаты вершины (h, k), корни и полное пошаговое выведение, показывающее, как получен каждый результат.

Этот калькулятор создан для студентов алгебры, изучающих сам метод выделения полного квадрата (а не только ответ), учителей, готовящих решённые примеры, и всех, кому нужна вершинная форма параболы без ручных алгебраических вычислений.

Как использовать

1. Введите коэффициент a (число, умножающее x²). Не может быть равен нулю.
2. Введите коэффициент b (число, умножающее x).
3. Введите коэффициент c (свободный член).
4. Прочитайте Вершинная форма и Вершина (h, k) для преобразованного уравнения, Корни для решения, и Пошаговое решение для полного выведения.

Результаты обновляются автоматически при вводе данных. Например, вввод a = 1, b = 6, c = 5 (для x² + 6x + 5 = 0) вернёт вершинную форму y = (x + 3)² - 4, вершину (-3, -4) и корни x₁ = -1, x₂ = -5.

Что такое выделение полного квадрата?

Выделение полного квадрата переписывает ax² + bx + c путём вынесения a за скобки в терминах x² и x, затем добавления и вычитания квадрата половины коэффициента x, чтобы выражение в скобках стало полным квадратом трёхчлена:

ax² + bx + c
= a(x² + (b/a)x) + c
= a(x² + (b/a)x + (b/2a)²) − a(b/2a)² + c
= a(x + b/2a)² + (c − b²/4a)
= a(x − h)² + k,   где h = −b/(2a),  k = c − b²/(4a)

Последняя строка — это вершинная форма — для параболы y = ax² + bx + c точка (h, k) является её вершиной (минимум, если a > 0, максимум, если a < 0).

Как он решает относительно x?

Приравниваем вершинную форму к нулю и изолируем квадратный член:

a(x − h)² + k = 0  →  (x − h)² = −k/a

• Если −k/a > 0, есть два различных вещественных корня: x = h ± √(−k/a).
• Если −k/a = 0, есть один повторяющийся вещественный корень: x = h.
• Если −k/a < 0, есть два комплексных сопряжённых корня: x = h ± i√(k/a).

Это ровно те же корни, которые даёт формула корней квадратного уравнения для одних и тех же a, b, c — выделение полного квадрата — это другой путь к тому же ответу, и на самом деле это то, как сама формула корней выводится. Для решения через дискриминант напрямую см. Калькулятор Формулы Корней Квадратного Уравнения.

Почему a не может быть равен нулю?

Если a = 0, член x² исчезает и уравнение сводится к bx + c = 0 — линейному уравнению без вершины для выделения квадрата. Калькулятор отмечает a = 0 как неверное значение вместо молчаливого переключения на логику линейного уравнения.

Как форматируются комплексные корни?

Комплексные корни показаны в стандартной нотации a + bi, например -0.5 + 0.866025i и его сопряжение -0.5 - 0.866025i — вещественная часть — это h вершины, а мнимая часть происходит из √(k/a).

Конфиденциальность

Этот калькулятор работает полностью в вашем браузере. Ваши коэффициенты никогда не загружаются, не логируются и не сохраняются — вычисление происходит локально на вашем устройстве.

Связанные инструменты

Для решения того же уравнения через дискриминант см. Калькулятор Формулы Корней Квадратного Уравнения.