Калькулятор ротора

Калькулятор ротора находит ротор трёхмерного векторного поля F(x, y, z) = (P, Q, R) в точке — вектор, измеряющий локальное вращение, или «закручивание», поля в этой точке. Он показывает упрощённый символический ротор (по-прежнему функцию от x, y, z) вместе с численным вектором ротора в выбранной точке, с полным пошаговым выведением каждой задействованной частной производной.

Создан для студентов курса многомерного анализа и векторного анализа, проверяющих ответ домашнего задания, и для всех, кому нужен ротор F без вычисления шести частных производных вручную.

Как использовать

1. Введите три компоненты вашего векторного поля: P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) — стандартная математическая нотация работает: ^ для степеней, * для умножения, плюс sqrt(), sin(), cos(), log() и другие функции, поддерживаемые анализатором выражений mathjs.
2. Введите точку (x, y, z), в которой вычислить ротор.
3. Прочитайте curl F в точке (x, y, z) для численного вектора ротора или отдельные компоненты i, j, k.
4. Пошаговое выведение показывает все шесть частных производных, упрощённый символический ротор и итоговое численное вычисление.

Результаты обновляются автоматически при вводе. Например, поле вращения F = (-y, x, 0) в точке (1, 2, 3) даёт ротор (0, 0, 2) — постоянное вращение вокруг оси z, независимо от того, где вы его вычисляете.

Что такое ротор?

Для векторного поля F(x, y, z) = (P, Q, R) ротор определяется как:

curl F = ∇ × F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y)

Физически ротор измеряет, насколько векторное поле «циркулирует» или вращается вокруг точки — если вы поместили бы маленькое лопастное колесо в поле в этой точке, ротор F указывал бы вдоль оси его вращения (по правилу правой руки), а его величина была бы пропорциональна скорости вращения колеса. Ротор, равный нулю везде, означает, что поле не имеет локального вращения нигде — он называется безвихревым, и (в односвязной области) является также консервативным полем, что означает, что это градиент какой-то скалярной потенциальной функции.

Почему калькулятор также показывает символический ротор?

Ротор сам по себе является векторным полем — функцией от (x, y, z) — а не просто числом в одной точке. Просмотр упрощённого символического выражения для каждой компоненты (перед подстановкой чисел) позволяет проверить, равен ли ротор F нулю везде (консервативное), постоянен (как жёсткое вращение) или меняется от точки к точке, что один только вычисленный вектор показать не может.

Какие функции я могу вводить?

Любые функции, которые понимает анализатор выражений mathjs: полиномы (x^2*y - 2*z), тригонометрические функции (sin(x*z), cos(y)), корни и логарифмы (sqrt(x), log(y)) и их комбинации, используя x, y и z в качестве трёх переменных. Углы в тригонометрических функциях по умолчанию в радианах — пишите pi для π.

Для вычисления произвольных математических выражений напрямую смотрите Math Evaluator, или для нахождения среднего темпа изменения функции одной переменной смотрите Average Rate of Change Calculator.

Конфиденциальность

Этот калькулятор работает полностью в вашем браузере. Ваше векторное поле и точка никогда не загружаются, не регистрируются и не сохраняются — вычисления происходят локально на вашем устройстве.