Калькулятор Правила Декарта для знаков

Калькулятор Правила Декарта для знаков находит, сколько положительных действительных корней и отрицательных действительных корней может иметь многочлен, без его решения. Введите коэффициенты от члена наибольшей степени до постоянного члена, и он подсчитает изменения знаков, перечислит каждое возможное количество корней и создаст полную таблицу комбинаций корней (положительные, отрицательные, комплексные), согласованные со степенью многочлена.

Он создан для студентов алгебры и предварительного исчисления, проверяющих количество корней перед факторизацией или применением квадратной/кубической формулы, и для всех, кто хочет получить быструю оценку того, сколько действительных корней ожидать.

Как использовать

1. Введите коэффициенты, разделённые запятыми или пробелами, от члена наибольшей степени к постоянному. Например, 1,-3,2,5,-1 представляет x⁴ - 3x³ + 2x² + 5x - 1.
2. Прочитайте подсчеты изменений знаков для f(x) и f(-x).
3. Проверьте возможные подсчеты корней и таблицу Комбинации корней для каждого допустимого разбиения (положительные, отрицательные, комплексные).
4. Используйте Пошаговое выведение, чтобы увидеть, как был достигнут каждый подсчет.

Результаты обновляются автоматически по мере ввода.

Что такое Правило Декарта для знаков?

Для многочлена с действительными коэффициентами, записанного от наибольшей степени к постоянному члену:

• Число положительных действительных корней (считая кратность) либо равно числу изменений знаков между последовательными ненулевыми коэффициентами f(x), либо меньше этого на чётное число.
• Число отрицательных действительных корней следует тому же правилу, применённому к f(-x) — многочлену с коэффициентом каждого члена нечётной степени, имеющим противоположный знак.

Нулевые коэффициенты полностью пропускаются при подсчёте изменений знаков — они не считаются "знаком" в том или ином смысле, поэтому член вроде x⁴ + 0x³ - 1 читается как +, - (одно изменение знака), а не +, 0, -.

Почему "или меньше на чётное число"?

Правило даёт верхнюю границу, а не точный подсчет, потому что нереальные корни всегда приходят комплексно-сопряженными парами. Если изменения знаков предполагают до 3 положительных корней, реальное число может быть 3 или 1 — "отсутствующие" 2 будут вместо этого комплексно-сопряженной парой. Вот почему калькулятор перечисляет каждую возможность (3, 1) вместо одного числа, и почему таблица Комбинации корней всегда заполняет остаток степени чётным числом комплексных корней.

Чтение таблицы Комбинации корней

Каждая строка — это один математически согласованный способ учесть каждый корень многочлена: подсчет положительных действительных корней, подсчет отрицательных действительных корней и подсчет комплексных (нереальных) корней — три всегда суммируются до степени многочлена. Многочлен степени 4 с 3 возможными положительными изменениями знаков и 1 отрицательным изменением знаков, например, может иметь 3 положительных + 1 отрицательный + 0 комплексных корней, или 1 положительный + 1 отрицательный + 2 комплексных — обе строки появляются в таблице, и фактические корни (найденные решением многочлена) будут точно совпадать с одной из них.

Чтобы действительно решить корни вместо того, чтобы просто ограничить их количество, см. Решатель кубического уравнения для степени 3 или Решатель квадратной формулы для степени 2.

Конфиденциальность

Этот калькулятор работает полностью в вашем браузере. Ваши коэффициенты никогда не загружаются, не регистрируются и не сохраняются — вычисления происходят локально на вашем устройстве.