Калькулятор производной по направлению

Калькулятор производной по направлению находит скорость изменения функции f(x, y, z) в точке P вдоль любого выбранного вектора направления. Он показывает символический и числовой градиент в этой точке, саму производную по направлению и максимально возможную скорость изменения вместе с точным единичным направлением, в котором она достигается — с полным пошаговым выведением.

Он создан для студентов многомерного исчисления, проверяющих ответы домашних заданий, и для всех, кто нуждается в производной по направлению без дифференцирования трех частных производных и нормализации вектора вручную.

Как его использовать

1. Введите вашу функцию f(x, y, z) — стандартная математическая нотация работает: ^ для степеней, * для умножения, плюс sqrt(), sin(), cos(), log() и другие функции, поддерживаемые парсером выражений mathjs. Работаете с функцией 2 переменных? Просто опустите z из выражения.
2. Введите точку (x, y, z) для вычисления.
3. Введите вектор направления (a, b, c) — не обязательно должен быть единичным вектором; калькулятор нормализует его автоматически.
4. Прочитайте Производная по направлению D_u f(P) для скорости изменения в этом направлении, Градиент ∇f(P) для вектора числового градиента и Максимальная скорость изменения с Направление максимальной скорости для самого быстрого возможного увеличения и направления, в котором оно указывает.

Результаты обновляются автоматически по мере ввода. Например, f = x*y*z в (1, 2, 3) вдоль направления (1, 1, 1) возвращает производную по направлению 6.35085, с максимально возможной скоростью изменения 7, достигаемой вдоль (0.857143, 0.428571, 0.285714).

Что такое производная по направлению?

Для скалярной функции f(x, y, z) производная по направлению вдоль единичного вектора u равна:

D_u f(P) = ∇f(P) · u

Она измеряет, насколько быстро изменяется f при движении в направлении u из точки P — это обобщение обычной производной (которая только говорит вам скорость изменения вдоль одной оси) на любое направление в пространстве. Если ваш вектор направления еще не является единичным вектором, он сначала нормализуется (делится на свою собственную длину), поскольку только направление, а не величина v, должны влиять на ответ.

Почему максимальная скорость изменения имеет значение?

Скалярное произведение ∇f(P) · u является наибольшим, когда u указывает в том же направлении, что и сам градиент — это прямое следствие тождества скалярного произведения как косинуса, поскольку cos(0°) = 1 — это наибольшее значение, которое может принять косинус. Итак, градиент всегда указывает в направлении наибольшего подъема, и его величина |∇f(P)| является этой максимальной скоростью. Этот калькулятор сообщает оба: скорость изменения в направлении, которое вы спросили, и лучшую возможную скорость, доступную в этой точке.

Какие функции я могу ввести?

Все, что понимает средство вычисления выражений mathjs: полиномы (x^2*y - 2*z), тригонометрические функции (sin(x*z), cos(y)), корни и логарифмы (sqrt(x), log(y)) и комбинации этих функций, используя x, y и z в качестве трех переменных. Углы в тригонометрических функциях по умолчанию указаны в радианах — напишите pi для π.

Нужна ротация векторного поля вместо градиента скалярной функции? Смотрите Калькулятор ротации. Для прямого вычисления произвольных математических выражений смотрите Математический калькулятор.

Конфиденциальность

Этот калькулятор работает полностью в вашем браузере. Ваша функция, точка и вектор направления никогда не загружаются, не логируются и не сохраняются — вычисления происходят локально на вашем устройстве.