Калькулятор дивергенции
Вычислите дивергенцию трёхмерного векторного поля F(x, y, z) = (P, Q, R) в точке с упрощённой символической дивергенцией и пошаговым выведением частных производных.
Ввод
Компонента i векторного поля F(x, y, z) = (P, Q, R).
Компонента j поля F.
Компонента k поля F.
Точка (x, y, z), в которой вычислить дивергенцию.
Вывод
Другие способы использовать этот инструмент
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/divergence-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"p": "x^2*y",
"q": "y*z",
"r": "x*z^2",
"x": "1",
"y": "2",
"z": "3"
}'Подставьте свой собственный ключ из аккаунта. Поля инструмента — это тело запроса, без обёртки.
Спросите у ИИ-агента
Use the IOTools `divergence-calculator` tool (Divergence Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HEREВставьте это любому агенту, подключённому к MCP-серверу IOTools, и добавьте свой ввод.
Виджет для встраивания
<iframe
src="https://iotools.cloud/embed/divergence-calculator/"
width="100%" height="520" frameborder="0" scrolling="no" loading="lazy"
title="Калькулятор дивергенции — iotools.cloud"
sandbox="allow-scripts allow-forms allow-same-origin allow-downloads allow-popups allow-popups-to-escape-sandbox"
allow="clipboard-write"
style="width:100%;border:1px solid #e5e7eb;border-radius:12px;overflow:hidden"></iframe>
<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>Вставьте это на свою страницу — бесплатно, без ключа, нужна лишь обратная ссылка.
| Стоимость вызова API/MCP | От 5 кредитов |
|---|---|
| Нужно больше кредитов? | Посмотреть тарифы |
Также доступно через
Руководства
Калькулятор дивергенции находит дивергенцию трёхмерного векторного поля F(x, y, z) = (P, Q, R) в точке — скаляр, измеряющий, насколько много поле вытекает из (или втекает в) эту точку. Он показывает упрощённую символическую дивергенцию (по-прежнему функцию от x, y, z) вместе с численным значением в выбранной точке, с простым текстовым описанием того, является ли эта точка источником, стоком или нейтральной, и полным пошаговым выведением каждой задействованной частной производной.
Создан для студентов курса многомерного анализа и векторного анализа, проверяющих ответ домашнего задания, и для всех, кому нужна дивергенция F без вычисления трёх частных производных вручную.
Как использовать
- Введите три компоненты вашего векторного поля: P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) — стандартная математическая нотация работает:
^для степеней,*для умножения, плюсsqrt(),sin(),cos(),log()и другие функции, поддерживаемые анализатором выражений mathjs. - Введите точку (x, y, z), в которой вычислить дивергенцию.
- Прочитайте div F в точке (x, y, z) для численного значения дивергенции, Символическая div F для упрощённого выражения, и Интерпретация для описания, является ли эта точка источником, стоком или ни тем, ни другим.
- Пошаговое выведение показывает все три частные производные, упрощённую символическую дивергенцию и итоговое численное вычисление.
Результаты обновляются автоматически при вводе. Например, поле F = (x^2*y, y*z, x*z^2) в точке (1, 2, 3) даёт дивергенцию 13 — чистый источник в этой точке.
Что такое дивергенция?
Для векторного поля F(x, y, z) = (P, Q, R) дивергенция определяется как:
div F = ∇ · F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂zФизически дивергенция измеряет чистый поток на единицу объёма в точке — представьте поле как скорость жидкости: положительная дивергенция означает, что жидкость вытекает из этой точки (источник), отрицательная дивергенция означает, что жидкость втекает в эту точку (сток), а дивергенция, равная нулю везде означает, что поле несжимаемо (также называется соленоидальным) — жидкость нигде не накапливается и не исчезает.
Почему калькулятор также показывает символическую дивергенцию?
Дивергенция сама по себе является скалярным полем — функцией от (x, y, z) — а не просто числом в одной точке. Просмотр упрощённого символического выражения позволяет проверить, равна ли дивергенция F нулю везде (несжимаемо), постоянна или меняется от точки к точке, что одно только вычисленное число показать не может. Поле может иметь нулевую дивергенцию в единственной точке, которую вы проверили, но быть вовсе не несжимаемым в другом месте — символическая форма это прояснит немедленно.
Какие функции я могу вводить?
Любые функции, которые понимает анализатор выражений mathjs: полиномы (x^2*y - 2*z), тригонометрические функции (sin(x*z), cos(y)), корни и логарифмы (sqrt(x), log(y)) и их комбинации, используя x, y и z в качестве трёх переменных. Углы в тригонометрических функциях по умолчанию в радианах — пишите pi для π.
Для вычисления ротора (завихрённости) того же вида векторного поля смотрите Калькулятор ротора; для вычисления произвольных математических выражений напрямую смотрите Math Evaluator.
Конфиденциальность
Этот калькулятор работает полностью в вашем браузере. Ваше векторное поле и точка никогда не загружаются, не регистрируются и не сохраняются — вычисления происходят локально на вашем устройстве.