Калькулятор метода Эйлера

Калькулятор метода Эйлера численно решает задачу Коши — дифференциальное уравнение dy/dx = f(x, y) с начальным условием y(x0) = y0 — используя явный (прямой) метод Эйлера. Он движется вперёд от начальной точки фиксированными шагами размера h, создавая полную таблицу каждого промежуточного значения x, y и наклона, плюс дополнительный столбец ошибки, когда известно точное решение.

Создан для студентов, проверяющих домашнее задание по численным методам, и для всех, кому нужно быстрое приближённое решение ОДУ без ручной работы с электронной таблицей.

Как использовать

1. Введите правую часть дифференциального уравнения как f(x, y) — работает стандартная математическая нотация: ^ для степеней, плюс sqrt(), sin(), cos(), exp(), log() и другие функции, поддерживаемые парсером выражений mathjs.
2. Введите начальное условие, x0 и y0.
3. Установите размер шага (h) и количество шагов (n).
4. Опционально введите точное решение y(x), если оно известно, чтобы добавить столбцы абсолютной и относительной ошибки.
5. Прочитайте таблицу Сводка для конечного приближения (и, если дано точное решение, конечной и максимальной ошибки), и Таблица шагов для каждого промежуточного значения.

Результаты обновляются автоматически по мере ввода. Например, dy/dx = x + y с y(0) = 1, h = 0.1, над 5 шагами приближает y(0.5) ≈ 1.72102.

Что такое метод Эйлера?

Метод Эйлера приближает кривую решения dy/dx = f(x, y), повторно делая небольшой шаг в направлении текущего наклона:

x_(n+1) = x_n + h
y_(n+1) = y_n + h · f(x_n, y_n)

Начиная с (x0, y0), каждая новая точка использует наклон f(x, y), вычисленный в предыдущей точке — это делает его "явным" (или "прямым") методом Эйлера, самым простым численным методом для решения обыкновенного дифференциального уравнения. Это метод первого порядка: уменьшение размера шага вдвое примерно уменьшает ошибку вдвое, поэтому меньший h даёт более точное приближение ценой большего количества шагов.

Почему калькулятор запрашивает точное решение?

Если вы уже знаете (или отдельно вывели) замкнутое решение y(x) — например, потому что ОДУ разделяемое или линейное — введение его позволяет калькулятору показать, насколько далеко приближение Эйлера на каждом шаге, через столбцы Абсолютная ошибка (|точное − приближённое|) и Относительная ошибка (абсолютная ошибка как процент точного значения), плюс конечная и максимальная ошибка в сводке. Это стандартный способ проверить численный метод: применить его к задаче, которую вы можете решить точно, и посмотреть, как растёт ошибка.

Какие функции я могу вводить?

Всё, что понимает оценивающий выражения mathjs: многочлены (x^2 - y), тригонометрические функции (sin(x), cos(y)), экспоненты и логарифмы (exp(x), log(y)), и их комбинации, через x и y. Поле точного решения использует тот же язык выражений, но только через x.

Для прямого вычисления одного выражения см. Калькулятор математики. Для наклона секущей между двумя точками на функции см. Калькулятор средней скорости изменения.

Конфиденциальность

Этот калькулятор работает полностью в вашем браузере. Ваше дифференциальное уравнение, начальное условие и каждое вычисленное значение никогда не загружаются, не логируются и не сохраняются — вычисление происходит локально на вашем устройстве.