Калькулятор экспоненциального роста

Калькулятор экспоненциального роста решает уравнение непрерывного экспоненциального роста P(t) = P₀ · e^(rt) для той переменной, которую вы не знаете: конечной величины, начальной величины, темпа роста или прошедшего времени. Поскольку уравнение симметрично, тот же инструмент работает и с непрерывным распадом — достаточно ввести отрицательный темп роста.

Он создан для студентов, решающих задачи на экспоненциальный рост, для тех, кто моделирует рост населения, рост инвестиций, радиоактивный распад или культуры бактерий, а также для проверки домашних заданий и формул в таблицах с помощью пошагового вывода.

Как пользоваться

1. Выберите, что нужно Найти — Конечную величину, Начальную величину, Темп роста или Прошедшее время.
2. Заполните три другие поля. Поле, соответствующее вашему выбору, исчезает, так как именно это значение и вычисляется.
3. Если вы ищете не сам темп, переключите Задать темп как в значение Период полураспада, чтобы задать задачу на распад так, как она обычно формулируется (например, «период полураспада 5 730 лет»), вместо ручного перевода в процентный темп.
4. Смотрите таблицу Результат: там вычисленное значение, все переменные, классификация роста или распада, а также время удвоения (или период полураспада).
5. Проверьте Пошаговое решение, чтобы увидеть подстановку формулы, которая дала ответ.

Результаты обновляются автоматически по мере ввода. Например, при поиске конечной величины с P₀ = 1000, r = 5%, t = 10 инструмент возвращает P(t) = 1648.72.

Работа напрямую с периодом полураспада

Задачи на период полураспада (радиоактивный распад, выведение лекарств, радиоуглеродное датирование) почти всегда формулируются через период полураспада, а не через процентный темп. Установите Задать темп как в значение Период полураспада и введите период полураспада напрямую — инструмент сам переводит его в r = -ln(2) / период полураспада перед расчётом, так что вам не нужно делать это преобразование вручную. Это работает только тогда, когда вы не ищете сам темп: если нужно найти период полураспада по известным величинам и времени, выберите решение для Темпа роста и прочитайте значение в строке Half-Life результатов.

Что такое непрерывный экспоненциальный рост?

Непрерывный экспоненциальный рост описывает величину, которая растёт (или уменьшается) с темпом, пропорциональным её текущему размеру в каждый момент времени, а не только один раз за дискретный период. Этот смысл передаёт член e^(rt): e — число Эйлера (≈ 2,71828), r — непрерывный темп роста, t — прошедшее время. Это стандартная модель роста населения, непрерывно начисляемых процентов и радиоактивного распада.

Почему отрицательный темп описывает распад?

Формула P(t) = P₀ · e^(rt) не меняет своего вида при отрицательном r — просто показатель rt становится отрицательным, поэтому e^(rt) лежит между 0 и 1, и величина со временем уменьшается, а не растёт. Калькулятор показывает этот случай как Decay в строке Growth Type и выводит Half-Life вместо Doubling Time.

Что такое время удвоения и период полураспада?

• Doubling Time (показывается при положительном темпе) — время, за которое величина удваивается: ln(2) / r.
• Half-Life (показывается при отрицательном темпе) — время, за которое величина уменьшается вдвое: ln(2) / |r|.

Оба значения получаются из одного тождества — решения P(t) = 2·P₀ (или P₀/2) относительно t в уравнении роста.

Почему величины должны быть положительными?

Начальная и конечная величины представляют физические количества — популяцию, баланс, массу, — которые модель считает строго положительными, а при поиске темпа или времени используется ln(P(t) / P₀), определённый только для положительного отношения. Вводите только модули величин; знак темпа роста задаёт рост или распад.

Конфиденциальность

Этот калькулятор работает полностью в вашем браузере. Ваши числа никогда не отправляются, не записываются и не сохраняются — вычисления выполняются локально на вашем устройстве.