Калькулятор гамма-функции

Что делает этот калькулятор?

Введите вещественное число x, и эта программа вычислит Γ(x), гамма-функцию, а также её натуральный логарифм ln|Γ(x)|. Гамма-функция расширяет факториал на нецелые и отрицательные вещественные числа: для положительного целого числа n, Γ(n) = (n-1)!. Она вычисляется с помощью аппроксимации Lanczos с точностью примерно 14-15 значащих цифр.

Как её использовать

1. Введите значение x, между -50 и 170 — за пределами этого диапазона истинное значение либо стремится к нулю, либо превышает то, что может представить число с плавающей точкой двойной точности.
2. Прочитайте Γ(x) и ln|Γ(x)| из таблицы результатов. Столбец логарифма полезен, когда Γ(x) становится астрономически большим (при x = 100, Γ(x) уже превышает 10¹⁵⁵) — его логарифм остаётся нормальным числом, которое вы можете сравнивать.

Математика

Для положительного вещественного x гамма-функция определяется несобственным интегралом:

Γ(x) = ∫₀^∞ t^(x-1) · e^(-t) dt

которая удовлетворяет рекуррентному соотношению Γ(x+1) = x · Γ(x), той же связи, что и факториал — поэтому Γ(1) = 1, Γ(2) = 1, Γ(3) = 2, Γ(4) = 6, и в общем случае Γ(n) = (n-1)! для положительных целых чисел.

Для нецелых чисел, Γ(0.5) = √π ≈ 1.7725, и полуцелые значения следуют формулам Γ(n + 1/2), построенным на их основе. Для отрицательных нецелых чисел формула отражения Эйлера расширяет функцию:

Γ(x) · Γ(1-x) = π / sin(πx)

вот как этот калькулятор работает с x < 0.5 — он вычисляет Γ(1-x) с той же аппроксимацией Lanczos и решает для Γ(x). Функция не определена при нуле и при каждом отрицательном целом числе (полюсы, где sin(πx) = 0 обнуляет знаменатель) — калькулятор отклоняет такие входные данные с ошибкой вместо того, чтобы показать неправильный результат.

Примеры использования

• Комбинаторика и вероятность — гамма-функция лежит в основе гамма-распределения, бета-распределения и распределения Стьюдента, все из которых требуют вычисления Γ для нецелых аргументов (таких как полуцелые степени свободы).
• Комбинаторные формулы с нецелыми аргументами — обобщённый биномиальный коэффициент и аппроксимации типа Стирлинга естественным образом расширяются через Γ(x) вместо того, чтобы быть ограниченными только целочисленными факториалами.
• Физика и инженерия — Γ(x) появляется в нормирующих константах для статистики Максвелла-Больцмана и Бозе-Эйнштейна, а также в решениях некоторых дифференциальных уравнений.
• Быстрая проверка факториальных значений — так как Γ(n) = (n-1)!, ввод x = 11 дает вам 10! = 3628800 без необходимости отдельного калькулятора факториалов.

Конфиденциальность

Все вычисления выполняются локально в вашем браузере — ваши данные никогда не отправляются на сервер.

Похожие инструменты

Для тесно связанной дополнительной функции ошибки см. Калькулятор дополнительной функции ошибки. Для общей описательной статистики см. Калькулятор статистики.