Калькулятор неявной производной
Дифференцируйте неявное уравнение в x и y до 1-го, 2-го или 3-го порядка без предварительного решения для y, со всеми частными производными и опциональной оценкой в точке.
Ввод
Опционально — вычислите производную в точке. Оставьте x₀ и y₀ пустыми для только символьного результата.
Вывод
Другие способы использовать этот инструмент
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/implicit-derivative-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"lhs": "x^2 + y^2",
"rhs": "25",
"order": "1",
"x0": "3",
"y0": "4"
}'Подставьте свой собственный ключ из аккаунта. Поля инструмента — это тело запроса, без обёртки.
Спросите у ИИ-агента
Use the IOTools `implicit-derivative-calculator` tool (Implicit Derivative Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HEREВставьте это любому агенту, подключённому к MCP-серверу IOTools, и добавьте свой ввод.
Виджет для встраивания
<iframe
src="https://iotools.cloud/embed/implicit-derivative-calculator/"
width="100%" height="520" frameborder="0" scrolling="no" loading="lazy"
title="Калькулятор неявной производной — iotools.cloud"
sandbox="allow-scripts allow-forms allow-same-origin allow-downloads allow-popups allow-popups-to-escape-sandbox"
allow="clipboard-write"
style="width:100%;border:1px solid #e5e7eb;border-radius:12px;overflow:hidden"></iframe>
<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>Вставьте это на свою страницу — бесплатно, без ключа, нужна лишь обратная ссылка.
| Стоимость вызова API/MCP | От 5 кредитов |
|---|---|
| Нужно больше кредитов? | Посмотреть тарифы |
Также доступно через
Руководства
Калькулятор неявной производной дифференцирует уравнение в x и y по x — без предварительного решения для y — до 1-го, 2-го или 3-го порядка. Показывает каждую используемую частную производную, полученную символьную производную и опциональное численное вычисление в точке (x₀, y₀).
Создан для студентов, проверяющих домашнее задание по неявному дифференцированию, и для всех, кому нужна dy/dx (или производная более высокого порядка) кривой, такой как окружность, эллипс или лист Декарта, без ручного выделения y — что для большинства неявных уравнений вообще невозможно с использованием элементарных функций.
Как использовать
- Введите левую часть и правую часть вашего уравнения в x и y — работает стандартная математическая запись:
^для степеней,*для умножения, плюсsqrt(),sin(),cos(),log()и другие функции, поддерживаемые парсером выражений mathjs. Например, окружность радиусом 5 этоx^2 + y^2слева и25справа. - Выберите порядок — 1-я производная (dy/dx), 2-я производная (d²y/dx²) или 3-я производная (d³y/dx³).
- Опционально введите точку (x₀, y₀) для получения численного значения — оставьте пустыми для только символьного результата.
- Прочтите Неявная производная для символьного результата и Пошаговое дифференцирование для каждой используемой частной производной.
Результаты обновляются автоматически при вводе. Например, окружность x^2 + y^2 = 25 в точке (3, 4) возвращает dy/dx = -(x / y) = -0.75.
Как работает неявное дифференцирование?
Запишем уравнение как H(x, y) = 0 (левая часть минус правая часть), продифференцируем H(x, y(x)) = 0 по x — рассматривая y как функцию x через правило цепи — и решим для производной:
dy/dx = -Hx / Hyгде Hx и Hy — обычные частные производные H, каждая вычисляется путем рассмотрения другой переменной как константы. Это избегает решения исходного уравнения для y, что для кривой, как лист Декарта (x³ + y³ = 9xy), вообще невозможно в замкнутой форме.
2-я и 3-я производные повторяют тот же трюк для полученного соотношения, подставляя результат более низкого порядка каждый раз:
d²y/dx² = -(Hxx + 2·Hxy·y′ + Hyy·y′²) / Hy
d³y/dx³ = -(Hxxx + 3·Hxxy·y′ + 3·Hxyy·y′² + Hyyy·y′³ + 3·Hxy·y″ + 3·Hyy·y′·y″) / HyЧто если ответ содержит и x, и y?
Это ожидается — в отличие от явной производной, неявная производная является функцией обоих x и y, так как само y не выделено. Для приведенного выше примера окружности dy/dx = -(x / y) — просто число только после того, как вы также зафиксируете точку на кривой (например (3, 4)), что как раз то, для чего нужны опциональные поля x₀/y₀.
Какие функции я могу вводить?
Все, что понимает оценщик выражений mathjs: многочлены (x^2*y - 2*x), тригонометрические функции (sin(x*y), cos(y)), корни и логарифмы (sqrt(x), log(y)) и их комбинации, используя x и y в качестве двух переменных. Углы в тригонометрических функциях по умолчанию в радианах — пишите pi для π.
Работаете с функцией, которая уже явная, f(x, y, z), и нужна ей направленная производная или градиент? См. Калькулятор направленной производной. Для прямого вычисления произвольных математических выражений см. Вычислитель математики.
Конфиденциальность
Этот калькулятор работает полностью в вашем браузере. Ваше уравнение, порядок и точка никогда не загружаются, не регистрируются и не сохраняются — вычисления происходят локально на вашем устройстве.