Калькулятор суммы бесконечного ряда

Калькулятор суммы бесконечного ряда находит точную замкнутую форму суммы восьми классических бесконечных рядов — геометрического, p-ряда, телескопического, чередующегося гармонического, Лейбница, Базеля, экспоненциального (eˣ) и чередующегося p-ряда — вместе с точной причиной сходимости, используемой формулой и таблицей частичных сумм, показывающей, насколько быстро (или медленно) ряд действительно приближается к этой сумме.

Как ее использовать

1. Выберите семейство ряда из выпадающего списка.
2. Заполните параметры этого семейства — первый член и отношение для геометрического ряда, показатель степени для p-ряда, промежуток для телескопического ряда и так далее. Некоторые семейства (чередующийся гармонический, Лейбниц, Базель) вообще не имеют параметров.
3. Выберите, сколько частичных сумм отображать.
4. Прочитайте точную сумму и формулу, или полное пошаговое решение для обоснования вывода о сходимости.

Почему общий p-ряд и чередующийся p-ряд не являются наивными частичными суммами

Для большинства показателей степени p, Σ 1/nᵖ и Σ (-1)ⁿ⁻¹/nᵖ не имеют элементарной замкнутой формы — их истинная "замкнутая форма" — это функция Римана зета ζ(p) и функция Дирихле eta η(p). Калькулятор, который просто складывает тысячи необработанных членов, сходится крайне медленно для p близко к 1 (чередующийся гармонический ряд требует миллиардов членов для точности в один знак) и просто неправильен для расходящегося p-ряда. Этот инструмент вместо этого:

• Вычисляет ζ(p) с помощью формулы суммирования Эйлера-Маклорина — той же техники, используемой mpmath и PARI/GP — точность примерно 14 значащих цифр для любого p > 1, с точно известными значениями (π²/6, π⁴/90, π⁶/945, π⁸/9450, π¹⁰/93555), показанными непосредственно для четных целых показателей степени.
• Вычисляет η(p) путем применения преобразования Эйлера к чередующемуся ряду, что ускоряет сходимость с тысяч необработанных членов примерно до 30 — точность примерно 10 значащих цифр для любого p > 0.

Восемь рядов

• Геометрический — Σ a·rⁿ. Сходится тогда и только тогда, когда |r| < 1, суммируясь к a·rⁿ⁰/(1 − r).
• p-ряд — Σ 1/nᵖ. Сходится тогда и только тогда, когда p > 1, суммируясь к ζ(p) (функция Римана зета).
• Телескопический — Σ 1/(n(n + k)). Всегда сходится, поскольку 1/(n(n+k)) = (1/k)[1/n − 1/(n+k)] отменяет каждый внутренний член.
• Чередующийся гармонический — Σ (-1)ⁿ⁻¹/n. Суммируется к ln 2.
• Лейбниц — Σ (-1)ⁿ/(2n + 1). Суммируется к π/4 — одному из наиболее медленно сходящихся рядов в обычном использовании (arctan(1)).
• Базельская задача — Σ 1/n². Суммируется к π²/6, знаменитый результат Эйлера 1734 года.
• Экспоненциальный — Σ xⁿ/n!. Сходится для каждого действительного x, суммируясь к eˣ.
• Чередующийся p-ряд — Σ (-1)ⁿ⁻¹/nᵖ. Сходится (условно, для 0 < p ≤ 1) тогда и только тогда, когда p > 0, суммируясь к η(p) (функция Дирихле eta; η(1) = ln 2 точно).

Чтобы пойти в другом направлении — разложить функцию в степенной ряд вместо суммирования одного — см. Калькулятор ряда Тейлора, или проверьте, сходится ли имеющийся у вас ряд с помощью Калькулятора теста сходимости ряда.

Конфиденциальность

Этот калькулятор работает полностью в вашем браузере. Выбранное вами семейство рядов и параметры никогда не загружаются, не регистрируются и не сохраняются.