Калькулятор матрицы Якобиана

Калькулятор матрицы Якобиана строит матрицу Якобиана — полную матрицу частных производных первого порядка — для векторнозначной функции F = (f₁, f₂, …) относительно переменных (x₁, x₂, …). Он показывает символическую матрицу Якобиана, символический определитель, когда матрица квадратная, вердикт об обратимости, числовую оценку в выбранной вами точке и полный пошаговый вывод каждого элемента.

Он построен для студентов, изучающих многомерное исчисление и линейную алгебру, которые проверяют ответы на домашние задания, и для всех, кому нужна матрица Якобиана без ручного дифференцирования целой сетки частных производных.

Как использовать

1. Введите ваши функции f₁, f₂, … — по одной на строку, или разделены точкой с запятой — используя стандартную математическую нотацию: ^ для степеней, * для умножения, плюс sqrt(), sin(), cos(), log() и другие функции, поддерживаемые парсером выражений mathjs. До 4 функций.
2. Перечислите переменные, по которым нужно дифференцировать, разделены запятой, одна буква для каждой (например x, y, z). До 4 переменных.
3. Опционально введите точку для числовой оценки матрицы Якобиана — одно значение для каждой переменной, разделены запятой. Оставьте пусто для просмотра только символической матрицы Якобиана.
4. Прочитайте Матрица Якобиана J для матрицы частных производных (строка i, столбец j это ∂fᵢ/∂xⱼ), Размер для её размерности и Определитель |J| для символического определителя, когда матрица квадратная.
5. Вычислено в Точке показывает числовую матрицу Якобиана, значение определителя и обратима ли матрица в этой точке. Пошаговый Вывод показывает каждую вычисленную частную производную.

Результаты обновляются автоматически при вводе. Например, F = (x^2*y, x + z) с переменными x, y, z дает матрицу Якобиана 2×3 [[2xy, x², 0], [1, 0, 1]] — не квадратная, поэтому нет определителя — в то время как F = (xy, x + y) с переменными x, y дает квадратную матрицу Якобиана [[y, x], [1, 1]], определитель y − x, обратимую везде, кроме прямой y = x.

Что такое матрица Якобиана?

Для векторнозначной функции F(x₁, …, xₙ) = (f₁, …, fₘ) матрица Якобиана — это матрица размером m×n:

J[i][j] = ∂fᵢ/∂xⱼ

Каждая строка — это градиент одной функции; каждый столбец — это то, как каждая функция реагирует на одну переменную. Это многомерное обобщение обычной производной, и это то, как выглядит первопорядковое (линейное) приближение функции F вблизи точки.

Почему обратимость важна?

Когда матрица Якобиана квадратная (столько же функций, сколько переменных) и её определитель отличен от нуля в какой-то точке, теорема об обратной функции гарантирует, что функция F локально обратима в этой точке — небольшое изменение в выходе можно проследить обратно к уникальному небольшому изменению входа. Этот калькулятор автоматически проверяет это условие: если определитель тождественно равен 0, матрица сингулярна везде (F никогда не является локально обратимой); в противном случае она обратима в любой точке, где определитель не обращается в нуль.

Какие функции я могу вводить?

Всё, что понимает вычислитель выражений mathjs: полиномы (x^2*y - 2*z), тригонометрические функции (sin(x*z), cos(y)), корни и логарифмы (sqrt(x), log(y)) и их комбинации. Углы в тригонометрических функциях по умолчанию в радианах — напишите pi для π. Символ, который вы указали как функцию, но не как переменную (или наоборот), рассматривается как константа при дифференцировании.

Чтобы продифференцировать одну функцию по одной переменной за раз, смотрите Калькулятор Частной Производной; для численных операций с матрицей 2×2/3×3 (определитель, обратная, умножение), смотрите Калькулятор Матриц.

Конфиденциальность

Этот калькулятор полностью работает в вашем браузере. Ваши функции, переменные и точка никогда не загружаются, не логируются и не сохраняются — вычисления происходят локально на вашем устройстве.