L'Hôpital's Rule Calculator

Калькулятор правила Лопиталя решает предел вида f(x)/g(x) при x, стремящемся к точке a, когда прямая подстановка даёт неопределённую форму 0/0 или ∞/∞. Он многократно дифференцирует числитель и знаменатель до тех пор, пока форма перестаёт быть неопределённой, затем вычисляет полученное отношение — показывая форму, найденную на каждом этапе, и полную цепочку производных до окончательного ответа.

Создан для студентов, проверяющих предел вручную, и для всех, кому нужно разрешить неопределённый предел без многократного дифференцирования одного и того же выражения на бумаге.

Как использовать

1. Введите числитель f(x) и знаменатель g(x) — стандартная математическая нотация работает: ^ для степеней, * для умножения, плюс sqrt(), sin(), cos(), log() и другие функции, поддерживаемые парсером выражений mathjs.
2. Выберите переменную (x, y, z или t) и введите точку предела a — обычное число или Infinity / -Infinity для предела на бесконечности.
3. Прочитайте Предел для окончательного ответа, Неопределённую форму для того, что дала прямая подстановка (0/0, ∞/∞ или "не неопределённо", если правило не требовалось), и Применения правила для количества дифференцирований.
4. Пошаговое дифференцирование показывает f(a) и g(a) на каждом этапе, каждое дифференцирование и окончательное вычисление.

Результаты обновляются автоматически по мере ввода. Например, sin(x)/x при x → 0 — это форма 0/0; одно применение даёт cos(x)/1, что вычисляется в 1 — значит, предел равен 1. ln(x)/x при x → Infinity — это форма ∞/∞; одно применение даёт (1/x)/1, что вычисляется в 0 на бесконечности — значит, предел равен 0.

Что такое правило Лопиталя?

Если f(a)/g(a) равно 0/0 или ∞/∞ (неопределённая форма — прямая подстановка не даёт действительного ответа), то при условии существования производных и того, что g′ не обращается в нуль близ a:

lim(x→a) f(x)/g(x) = lim(x→a) f′(x)/g′(x)

Если новое отношение ещё неопределённо, правило можно применить снова к f″/g″ и так далее — этот калькулятор применяет его автоматически, до 6 раз, и останавливается, как только подстановка даёт действительное число (или расходится к ±∞).

Почему проверять форму перед дифференцированием?

Правило Лопиталя применимо только к истинной форме 0/0 или ∞/∞ — применение его к пределу, который уже вычисляется непосредственно, даёт неправильный ответ, не просто ненужный. Этот калькулятор отдельно вычисляет f(a) и g(a) (никогда не как одно отношение) перед обращением к производной, поэтому он применяет правило только когда форма это действительно оправдывает, и сообщает "не неопределённо" плюс прямой ответ в противном случае.

Какие функции я могу ввести?

Всё, что понимает оценщик выражений mathjs: многочлены (x^2 - 1), тригонометрические функции (sin(x)), корни, экспоненты и логарифмы (sqrt(x), exp(x), log(x)) и их комбинации. Углы в функциях тригонометрии по умолчанию в радианах — пишите pi для π.

Чтобы найти частную производную многовариантной функции пошагово, см. Калькулятор частной производной.

Конфиденциальность

Этот калькулятор работает полностью в вашем браузере. Ваши функции и точка предела никогда не загружаются, не записываются и не сохраняются — вычисления происходят локально на вашем устройстве.