Калькулятор линейного интеграла

Калькулятор линейного интеграла численно вычисляет линейный интеграл вдоль параметрической кривой C: r(t) = (x(t), y(t)[, z(t)]), t ∈ [t0, t1] — либо интеграл скалярного поля ∫_C f ds (по длине дуги), либо интеграл векторного поля ∫_C F · dr (по смещению вдоль кривой). Наряду с численным результатом он вычисляет длину дуги кривой на том же интервале и, для векторных полей, проверку консервативного поля на основе ротора F.

Создано для студентов векторного анализа, проверяющих ответы домашних заданий, и для тех, кто нуждается в быстром численном линейном интеграле без ручной подготовки подстановок.

Как использовать

1. Выберите Тип интеграла: скалярное поле (∫ f ds) или векторное поле (∫ F · dr).
2. Выберите Размерность кривой: 2D или 3D.
3. Введите параметризацию кривой: x(t), y(t) и (в 3D) z(t) — стандартная математическая нотация работает: ^ для степеней, * для умножения, плюс sqrt(), sin(), cos(), log() и другие функции, поддерживаемые парсером выражений mathjs.
4. Введите нижнюю границу t (t0) и верхнюю границу t (t1) — они также принимают константные выражения, такие как 2*pi, а не только простые числа.
5. Для скалярного поля введите f(x, y[, z]). Для векторного поля введите его компоненты P(x, y[, z]), Q(x, y[, z]) и (в 3D) R(x, y, z).
6. Прочитайте результат интеграла (∫_C f ds или ∫_C F · dr), Длину дуги и — для векторных полей — Консервативное поле?. Пошаговые детали показывают dx/dt, dy/dt (и dz/dt в 3D), установку интеграла и вычисление ротора.

Результаты обновляются автоматически по мере ввода. Например, векторное поле F = (-y, x) вокруг единичной окружности (cos(t), sin(t)), t ∈ [0, 2π], возвращает линейный интеграл 6.28319 и отмечается как не консервативное.

Как вычисляется интеграл?

dx/dt, dy/dt и dz/dt находятся символически путем дифференцирования x(t), y(t) и z(t). Кривая, её производная и поле затем вычисляются в 1001 равномерно распределённых точках по [t0, t1] и объединяются с помощью составного правила Симпсона — для скалярного поля интегрируя f(r(t)) · |r′(t)| dt; для векторного поля интегрируя [P dx/dt + Q dy/dt (+ R dz/dt)] dt. Та же сетка и правило вычисляют длину дуги, ∫ |r′(t)| dt.

Что такое проверка консервативного поля?

Для векторного поля F = (P, Q[, R]) калькулятор вычисляет ротор F символически (∂Q/∂x − ∂P/∂y в 2D; полный вектор ротора в 3D) и проверяет, упрощается ли он тождественно в ноль. Если да, то F выглядит консервативным — линейный интеграл между двумя точками не зависит от пути между ними, а зависит только от концов. Этот тест частных производных является необходимым, но не достаточным условием на области с отверстиями или сингулярностями (например, начало координат удалено из плоскости), поэтому рассматривайте вердикт "консервативное" как сильное свидетельство, а не абсолютную гарантию, на таких областях.

Какие функции я могу вводить?

Всё, что понимает вычислитель выражений mathjs: многочлены, тригонометрические функции (sin, cos, tan), корни и логарифмы (sqrt(), log()), и комбинации этих. Используйте t как параметр кривой и x, y, z как переменные поля. Углы по умолчанию в радианах — напишите pi для π.

Чтобы найти ротор 3D векторного поля в одной точке напрямую, см. Калькулятор ротора; для двойного интеграла по прямоугольной области вместо интеграла вдоль кривой см. Калькулятор двойного интеграла.

Конфиденциальность

Этот калькулятор работает полностью в вашем браузере. Ваша кривая, поле и границы никогда не загружаются, не логируются и не сохраняются — вычисления происходят локально на вашем устройстве.