Калькулятор разложения на простые дроби
Разложите рациональное выражение P(x)/Q(x) в сумму более простых простых дробей — правильные или неправильные, с повторяющимися линейными и неприводимыми квадратичными множителями — используя точную рациональную арифметику и полный пошаговый вывод.
Ввод
Полином по x, например 3x + 5 или x^2 - 4. Может иметь степень, равную или выше, чем знаменатель (неправильная дробь) — сначала мы разделим.
Q(x) как произведение линейных и/или квадратичных множителей, каждый в скобках с необязательной степенью ^ — например (x - 1)(x + 2)^2 или (x - 1)(x^2 + 1). Мы не автоматически разлагаем произвольный многочлен (в общем случае не решается точно) — введите разложенную форму, и каждый шаг вычисляется точно.
Вывод
| Множитель знаменателя | Числитель | Слагаемое |
|---|---|---|
| No data yet | ||
Другие способы использовать этот инструмент
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/partial-fraction-decomposition-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"numerator": "3x + 5",
"denominator": "(x - 1)(x + 2)"
}'Подставьте свой собственный ключ из аккаунта. Поля инструмента — это тело запроса, без обёртки.
Спросите у ИИ-агента
Use the IOTools `partial-fraction-decomposition-calculator` tool (Partial Fraction Decomposition Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HEREВставьте это любому агенту, подключённому к MCP-серверу IOTools, и добавьте свой ввод.
Виджет для встраивания
<iframe
src="https://iotools.cloud/embed/partial-fraction-decomposition-calculator/"
width="100%" height="520" frameborder="0" scrolling="no" loading="lazy"
title="Калькулятор разложения на простые дроби — iotools.cloud"
sandbox="allow-scripts allow-forms allow-same-origin allow-downloads allow-popups allow-popups-to-escape-sandbox"
allow="clipboard-write"
style="width:100%;border:1px solid #e5e7eb;border-radius:12px;overflow:hidden"></iframe>
<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>Вставьте это на свою страницу — бесплатно, без ключа, нужна лишь обратная ссылка.
| Стоимость вызова API/MCP | От 5 кредитов |
|---|
Также доступно через
Руководства
Разложение на простые дроби разбивает рациональное выражение P(x)/Q(x) на более простые дроби, которые в сумме дают исходное выражение — это обратная операция сложению дробей с общим знаменателем. Это стандартный первый шаг перед интегрированием рациональной функции, и арифметика становится утомительной, как только знаменатель содержит повторяющийся или квадратичный множитель. Этот калькулятор выполняет полный метод точно — каждый коэффициент представляет собой точную дробь, никогда не округленное десятичное число — и показывает линейную систему, которая была решена для получения результата.
Как использовать
- Введите числитель P(x) как полином от x, например
3x + 5илиx^2 - 4. - Введите знаменатель Q(x) в разложенной форме — произведение линейных и/или квадратичных множителей, каждый в скобках с необязательной степенью
^, например(x - 1)(x + 2)^2или(x - 1)(x^2 + 1). - Прочитайте результат: разложение, полиномиальную часть (если дробь неправильная), таблицу слагаемых и полный вывод.
Почему знаменатель должен быть уже разложен
Разложение произвольного полинома точно не имеет общего замкнутого решения выше степени 4, и даже определение того, может ли один множитель разложиться над рациональными числами, является сложной задачей — калькулятор, который молча угадывает "достаточно близкую" факторизацию, вернет неправильный ответ с полной уверенностью, что хуже, чем задать еще один вопрос. Предоставление Q(x) уже разложенным сохраняет каждый шаг точным: никакого поиска корней, никогда не используется с плавающей точкой. Если квадратичный множитель, который вы вводите, оказывается действительно приводимым над рациональными числами (его дискриминант является полным квадратом), калькулятор автоматически переписывает его как два линейных множителя перед разложением.
Метод
- Неправильная дробь? Если deg(P) ≥ deg(Q), сначала разделите (обычное полиномиальное деление в столбик), чтобы получить полиномиальную часть плюс правильный остаток, затем разложите остаток.
- Построьте анзац. Каждый линейный множитель
(x − r)со степеньюnдаетA₁/(x−r) + A₂/(x−r)² + … + Aₙ/(x−r)ⁿ; каждый неприводимый квадратичный множитель со степеньюnдает(B₁x + C₁)/(quad) + … + (Bₙx + Cₙ)/(quad)ⁿ. - Приравняйте коэффициенты. Умножьте обе части на Q(x) и сравните коэффициент при каждой степени x — это дает квадратную систему линейных уравнений для неизвестных числителей, решаемую точным методом Гаусса-Жордана над рациональными дробями (BigInt).
- Для простейшего случая — когда каждый множитель знаменателя линеен и различен, без повторений — вывод также показывает ярлык покрытия (Хевисайда) как независимую проверку: закройте каждый
(x − r)и вычислите остальное приx = r.
FAQ
Почему квадратичный множитель требует (Ax + B) сверху, а не просто A?
Одна константа над неприводимым квадратичным не может воспроизвести каждый возможный числитель этой степени — числитель должен иметь возможность иметь собственный член x, иначе система уравнений не имеет решения для произвольного P(x).
Что если мой множитель знаменателя не соответствует степени 1 или 2?
Разложите дальше. Любой вещественный полином раскладывается на линейные и неприводимые квадратичные части, поэтому кубический или более высокий множитель, который у вас есть, не находится в своей окончательной разложенной форме — разложите остальную часть (вручную или с помощью Решателя кубических уравнений) перед вводом здесь.
Мой множитель не монический (например (2x - 4)) — это важно?
Нет — введите его точно так, как у вас есть. Калькулятор внутренне извлекает старший коэффициент и складывает его в числитель, поэтому (2x - 4) и (x - 2) раскладываются на одинаковые базовые дробные слагаемые.
Связанные инструменты
Чтобы развернуть разложенный полином обратно в стандартную форму — противоположное направление второго шага этого инструмента — см. Калькулятор расширения полиномов. Чтобы разделить неправильный числитель на знаменатель вручную вместо автоматического выполнения, см. Калькулятор полиномиального деления в столбик.
Конфиденциальность
Все расчеты выполняются полностью в вашем браузере — числитель и знаменатель, которые вы вводите, никогда не отправляются на сервер.