Калькулятор факторизации полиномов
Разложите целочисленный многочлен на множители над рациональными числами: содержание (НОД), каждый рациональный корень с кратностью, линейные множители и остаток без рациональных корней.
Ввод
Целые коэффициенты, разделённые запятыми или пробелами, от члена высшей степени до свободного члена (до степени 10). Десятичные дроби и обыкновенные дроби не поддерживаются — только целые коэффициенты.
Вывод
| Корень | Кратность | Линейный множитель |
|---|---|---|
| No data yet | ||
Другие способы использовать этот инструмент
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/polynomial-factoring-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"coefficients": "1, 0, -3, 2"
}'Подставьте свой собственный ключ из аккаунта. Поля инструмента — это тело запроса, без обёртки.
Спросите у ИИ-агента
Use the IOTools `polynomial-factoring-calculator` tool (Polynomial Factoring Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HEREВставьте это любому агенту, подключённому к MCP-серверу IOTools, и добавьте свой ввод.
Виджет для встраивания
<iframe
src="https://iotools.cloud/embed/polynomial-factoring-calculator/"
width="100%" height="520" frameborder="0" scrolling="no" loading="lazy"
title="Калькулятор факторизации полиномов — iotools.cloud"
sandbox="allow-scripts allow-forms allow-same-origin allow-downloads allow-popups allow-popups-to-escape-sandbox"
allow="clipboard-write"
style="width:100%;border:1px solid #e5e7eb;border-radius:12px;overflow:hidden"></iframe>
<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>Вставьте это на свою страницу — бесплатно, без ключа, нужна лишь обратная ссылка.
| Стоимость вызова API/MCP | От 5 кредитов |
|---|
Также доступно через
Руководства
Разложение многочлена на множители вручную требует угадывания предполагаемых корней, проверки каждого синтетическим делением и повторения для оставшейся части — легко потерять счёт, когда корень повторяется или свободный член имеет дюжину делителей. Этот калькулятор выполняет весь поиск за вас: выделяет содержание, находит каждый рациональный корень с его кратностью и чётко говорит, остаётся ли что-то, не раскладываемое на рациональные множители.
Как использовать
- Введите коэффициенты многочлена, начиная со старшей степени — для x³ − 3x + 2 введите
1, 0, -3, 2(отсутствующий член x² — это ноль, и это важно: не пропускайте). - Прочитайте содержание, разложенный вид, таблицу корня/кратности и полностью ли разложимо данный многочлен.
Поддерживаются только целые коэффициенты — десятичные дроби и обыкновенные дроби не поддерживаются, так как метод (теорема о рациональных корнях) определён для целых коэффициентов.
Метод
- Содержание: выделите НОД всех коэффициентов, оставив примитивный многочлен (содержание 1).
- Теорема о рациональных корнях: для примитивного многочлена со свободным членом a₀ и старшим коэффициентом aₙ, каждый рациональный корень — это p⁄q в несократимой форме, где p делит a₀ и q делит aₙ. Каждый кандидат проверяется точным целочисленным синтетическим делением для (qx − p).
- Когда корень подтверждён, он делится повторно (для определения кратности), и поиск возобновляется с меньшего оставшегося многочлена — новые кандидаты включены, так как понижение степени может открыть корни, невидимые в делителях исходных коэффициентов.
- Когда ни один кандидат не делит нацело, остаток выводится как есть: либо ±1 (многочлен полностью разложен), либо старший кусок без рациональных корней.
Часто задаваемые вопросы
Что означает "без рациональных корней" для остатка?
Это означает, что поиск не нашёл больше кандидатов p⁄q, которые делят многочлен нацело — не формальное доказательство того, что кусок вообще нельзя разложить. Квадрат типа x² + 1 не имеет действительных корней, а что-то вроде x² − 2 имеет иррациональные действительные корни (±√2); оба возвращаются здесь как неразложимый остаток, так как ни один не имеет рациональных корней.
Почему разложенный вид иногда начинается с простого числа?
Это содержание — НОД, выделенный из каждого коэффициента перед поиском корней. 2x³ − 4x² − 2x + 4 разлагается как 2(x - 1)(x - 2)(x + 1), а не (2x - 2)(x - 2)(x + 1), потому что 2 делит каждый член спереди.
Как показана кратность?
Каждый различный рациональный корень получает одну строку в таблице со своей кратностью — двойной корень показывает кратность 2, а его множитель в разложенном виде имеет соответствующее ^2.
Связанные инструменты
Чтобы разделить многочлен на конкретный x − a и проверить остаток напрямую, см. Калькулятор синтетического деления. Чтобы перемножить множители обратно в стандартную форму, см. Калькулятор раскрытия скобок полиномов. Для конкретного квадратного уравнения Калькулятор квадратной формулы также обрабатывает иррациональные и комплексные корни, которые поиск только рациональных корней этого инструмента не найдёт.
Конфиденциальность
Все вычисления выполняются полностью в вашем браузере — коэффициенты, которые вы вводите, никогда не отправляются на сервер.